Question

【題目】拋物線與軸相交于兩點，與軸交于點.

（1）設,求該拋物線的解析式；

（2）在⑴中，若點為直線下方拋物線上一動點，當⊿的面積最大時，求點的坐標；

（3）是否存在整數使得和同時成立，請證明你的結論.

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為；

（2）；

（3）不存在整數使得和同時成立，證明見解析.

【解析】試題分析：本題的⑴問中由于拋物線上沒有現成的坐標，所以要根據一元二次方程根與系數的關系，并結合三角函數和二次函數的對稱軸進行多次代數轉換即可求出二次函數的待定系數，其轉換有點繁瑣，可以分步進行.

關于面積的“最值”問題一般都要通過建立二次函數切入來解決問題，本題的⑵問可采用“割補法”來表示⊿的面積.若采取“補”的辦法，可以連接,此時⊿的面積可以看作是四邊形的面積減去⊿的面積，即⊿= ⊿+ （或 -）⊿ - ⊿ ，由于在⑴問中我們能把原二次函數的解析式求出來，在此基礎上求出的坐標，然后把的橫縱坐標均用自變量表示出來，在此基礎上建立關于⊿的面積的二次函數使問題可以解決.（本問也可以采用過點作軸的垂線把⊿ “割”成兩個三角形來解答，計算量相當.）

本題的⑶問是一個存在性的問題.先假設存在，然后結合和利用根與系數的關系解出的分別的整數值，在此基礎上分析圖象信息所得出的條件，分別代入討論，即可使問題獲得解決.

試題解析：（1）根據題中的

可知：

∴，

配方得： .分別代入得： ①

∵

∴；

又拋物線與軸的交點為，

∴

∵拋物線對稱軸為 ，

即，

又，

∴.

∴②，

把①②聯立后解得： 或（舍去）.

把代入①得： .

∴拋物線解析式為.

⑵.連結,過點分別向坐標作高 (見后面的圖示)

若設點的橫坐標為，代入后得到，

即點的橫縱坐標為.

則.

在中，令時， ；

即與軸交于點的坐標為.

令時，解得：

即與軸交于點的坐標為.

∴⊿= ⊿+ ⊿ - ⊿=

①當時， .

∵二次項系數

∴沒有最大值.

②當時， .

∵二次項系數

∴有最大值.當時， 有最大值 .

∴.

⑶假設存在整數，并且使得和同時成立.、

根據題意有： 即

解得：

∵為整數

∴

對于拋物線與軸相交于兩點.

若要同時存在和說明：

①此時的拋物線開口向上且與軸在兩個點之間（不含這兩個點）有兩個交點.；

②當時， ；

③當時， .

∴ ①；②；③； 又④要為整數.

∴把代入①②③④解得無解；

把代入①②③④解得無解；

把代入①②③④解得無解.

綜上所述不存在整數使得和同時成立.