Question

【題目】如圖,P是等腰直角△ABC外一點,把BP繞直角頂點BB順時針旋轉900到BP/,已知∠AP/B=1350，P/A:P/C=1:3，則PB:P/A的值為________.

Answer 1

【答案】1:2

【解析】

如圖，連接AP，構建全等三角形：△ABP≌△CBP′（SAS），由該全等三角形的對應邊相等得到AP=P′C；如圖，連接PP′，結合已知條件可以推知△APP′是直角三角形，所以由勾股定理來求相關線段的長度即可．

如圖，連接AP，

∵BP繞點B順時針旋轉90°到BP′，

∴BP=BP′,∠ABP+∠ABP′=90°，

又∵△ABC是等腰直角三角形，

∴AB=BC,∠CBP′+∠ABP′=90°，

∴∠ABP=∠CBP′，

在△ABP和△CBP′中，

∵，

∴△ABP≌△CBP′(SAS)，

∴AP=P′C，

∵P′A:P′C=1:3，

∴AP=3P′A，

連接PP′,則△PBP′是等腰直角三角形，

∴∠BP′P=45°,PP′=PB，

∵∠AP′B=135°，

∴∠AP′P=135°45°=90°，

∴△APP′是直角三角形，

設P′A=x，則AP=3x，

根據勾股定理,PP′===2x，

∴PP′=PB=2x，

解得PB=2x，

∴P′A:PB=x:2x=1:2.

故答案是：1:2.