Question

【題目】如圖，已知直線y=3x﹣3分別交x軸，y軸于A，B兩點，拋物線y=x2+bx+c經過A，B兩點，點C是拋物線與x軸的另一個交點（與點A不重合），點D是拋物線的頂點，請解答下列問題．
（1）求拋物線的解析式；
（2）判斷△BCD的形狀，并說明理由；
（3）求△BCD的面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵直線y=3x﹣3分別交x軸，y軸于A，B兩點，

當y=0時，x=1，當x=0時，y=﹣3，

∴點A（1，0），點B（0，﹣3），

∵拋物線y=x2+bx+c經過A，B兩點，

∴ ，

解得， ，

∴拋物線的解析式為：y=x2+2x﹣3

（2）解：△BCD是直角三角形，

理由：∵y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4=（x+3）（x﹣1），

∴當y=0時，x=﹣3或x=1，此拋物線的頂點坐標是（﹣1，﹣4），

∵拋物線y=x2+bx+c經過A，B兩點，點C是拋物線與x軸的另一個交點（與點A不重合），點D是拋物線的頂點，

∴點C（﹣3，0），點D（﹣1，﹣4），

∵點B（0，﹣3），

∴BC= =3 ，

CD= =2 ，

BD= = ，

∵ ，

∴BC2+BD2=CD2，

∴△BCD是直角三角形

（3）解：由（2）知△BCD是直角三角形，∠CBD=90°， ，CD=2 ，BD= ，

∴△BCD的面積是： ，

即△BCD的面積是3

【解析】（1）根據直線y=3x﹣3分別交x軸，y軸于A，B兩點，可以求得點A和點B的坐標，由拋物線y=x2+bx+c經過A，B兩點，從而可以得到拋物線的解析式；（2）根據（1）中的函數解析式可以分別求得點C和點D的坐標，從而可以求得BC、BD、CD的長，然后根據勾股定理的逆定理即可解答本題；（3）根據（2）中的判斷，然后根據三角形的面積公式即可解答本題．
【考點精析】本題主要考查了拋物線與坐標軸的交點的相關知識點，需要掌握一元二次方程的解是其對應的二次函數的圖像與x軸的交點坐標．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數中表示圖像與x軸是否有交點．當b2-4ac>0時，圖像與x軸有兩個交點；當b2-4ac=0時，圖像與x軸有一個交點；當b2-4ac<0時，圖像與x軸沒有交點．才能正確解答此題．