Question

（2013•如皋市模擬）如圖，矩形ABCD中，AB=10cm，BC=6cm．現有兩個動點P，Q分別從A，B同時出發，點P在線段AB上沿AB方向作勻速運動，點Q在線段BC上沿BC方向作勻速運動，已知點P的運動速度為1cm/s，運動時間為t s．
（1）設點Q的運動速度為

1

2

cm/s．
①當△DPQ的面積最小時，求t的值；
②當△DAP∽△QBP相似時，求t的值．
（2）設點Q的運動速度為a cm/s，問是否存在a的值，使得△DAP與△PBQ和△QCD這兩個三角形都相似？若存在，請求出a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）①根據S_△DPQ=S_矩形ABCD-S_△DAP-S_△PBQ-S_△QCD代入得出二次函數的解析式，求出頂點坐標即可；
②根據△DAP∽△QBP得出

DA

PA

=

QB

BP

，代入得出方程

6

t

=

1 2 t

10-t

，求出即可；
（2）假設存在a的值，使得△DAP與△PBQ和△QCD這兩個三角形都相似，畫出圖形，則AP=t，BQ=at．以下分4種情況進行討論：①當∠1=∠3=∠4時，有

AD

AP

=

BP

BQ

=

CD

CQ

，②當∠1=∠3=∠5時，③當∠1=∠2=∠4時，有

AD

AP

=

BQ

BP

=

CD

CQ

，④當∠1=∠2=∠5時，代入求出即可．

解答：解：（1）①S_△DPQ=S_矩形ABCD-S_△DAP-S_△PBQ-S_△QCD
=60-

1

2

×6×t-

1

2

×（10-t）×

1

2

t-

1

2

×10×（6-

1

2

t）
=

1

4

t²-3t+30
=

1

4

（t-6）²+21．
∵0≤t≤10，∴當t=6 s時，S_△DPQ的最小值為21 cm²．           
②當△DAP∽△QBP時，有

DA

PA

=

QB

BP

，
即

6

t

=

1 2 t

10-t

，解得t₁=-6+2

39

，t₂=-6-2

39

（舍去）．
∴t=-6+2

39

時，△DAP∽△QBP，
即t的值是-6+2

39

．

（2）假設存在a的值，使得△DAP與△PBQ和△QCD這兩個三角形都相似，
則AP=t，BQ=at．以下分4種情況進行討論．
①當∠1=∠3=∠4時，有

AD

AP

=

BP

BQ

=

CD

CQ

，
∴

6

t

=

10-t

at

=

10

6-at

，解得t₁=2，t₂=18（舍去）．
此時a=

4

3

．                                               
②當∠1=∠3=∠5時，有∠DPQ=∠PQD=∠PDQ=90°．
此等式不成立．∴不存在這樣的a值．
③當∠1=∠2=∠4時，有

AD

AP

=

BQ

BP

=

CD

CQ

，
∴

6

t

=

at

10-t

=

10

6-at

，即有

60-6t=at2 36-6at=10t

整理，得5t²-36+180=0，△＜0，方程無實數解．
∴不存在這樣的a值．
④當∠1=∠2=∠5時，∵AB∥DC，∴∠1=∠PDC＞∠5．故不存在這樣的a值．
綜上所述，存在a的值，使得△DAP與△PBQ和△QCD這兩個三角形都相似，此時a=

4

3

．

點評：本題考查了矩形的性質，三角形的面積，二次函數的最值，相似三角形的性質和判定的應用，主要考查學生綜合運用性質進行推理和計算的能力，題目比較好，但是有一定的難度．