Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，AB ∥ CD.

（1）求證：四邊形ABCD是菱形.

（2）當(dāng)△ABD滿足什么條件時(shí)，四邊形ABCD是正方形.（直接寫出一個(gè)符合要求的條件）.

（3）對角線AC和BD交于點(diǎn)O，∠ ADC =120°，AC=8， P為對角線AC上的一個(gè)動點(diǎn)，連接DP，將DP繞點(diǎn)D逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)120°得到線段DP1，直接寫出A P1的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3) .

【解析】（1）先證明四邊形ABCD是平行四邊形，然后證明它是菱形即可.

（2）由（1）已知四邊形ABCD是菱形，所以當(dāng)△ABD是直角三角形時(shí)，四邊形ABCD是正方形.

（3）將線段AC順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到線段CE，并連接AE，點(diǎn)到直線的距離垂線段最短，所以AP1垂直CE時(shí)，AP1取最小值，點(diǎn)P1在E點(diǎn)，AP1取最大值，即可求解.

證明：（1） AB=AD，CB=CD，∴∠ABD=∠ADB，∠CBD=∠CDB，

∵AB∥CD，∴∠ABD=∠CDB，∴∠ADB=∠CBD，

∴AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形.

又∵AB=AD，∴四邊形ABCD是菱形.

（2）要使四邊形ABCD是正方形，則∠A=∠ABC=∠C=∠ADC=90°，

∴當(dāng)△ABD是直角三角形時(shí)，即∠BAD=90°時(shí)，四邊形ABCD是正方形；

（3）以點(diǎn)C為中心，將線段AC順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到線段CE，由題意可知，點(diǎn)P1在線段CE上運(yùn)動.

連接AE，

∵AC=CE，∠ACE=60°，∴△ACE為等邊三角形，

∴AC=CE=AE=8，過點(diǎn)A作于點(diǎn)F，

∴.當(dāng)點(diǎn)P1在點(diǎn)F時(shí)，線段AP1最短，此時(shí)；.

當(dāng)點(diǎn)P1在點(diǎn)E時(shí)，線段AP1最長，此時(shí)AP1=8，

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