Question

【題目】如圖，已知二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于點A（﹣1，0），與y軸的交點B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之間（不包括這兩點），對稱軸為直線x=1．下列結論：①abc＞0 ；②4a+2b+c＞0 ；③4ac﹣b2＜8a ；④ ＜a＜；⑤b＞c．其中正確結論的是：____________．（填序號）

Answer 1

【答案】①③④⑤．

【解析】根據對稱軸為直線x=1及圖象開口向上可判斷出a、b、c的符號，從而判斷①；根據對稱軸得到函數圖象經過（3，0），則得②的判斷；根據圖象經過（﹣1，0）可得到a、b、c之間的關系，從而對③⑤作判斷；從圖象與y軸的交點B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之間可以判斷c的大小得出④的正誤．

解：①∵函數開口方向向上，

∴a＞0；

∵對稱軸在原點右側

∴ab異號，

∴b＜0，

∵拋物線與y軸交點在y軸負半軸，

∴c＜0，

∴abc＞0，

故①正確；

②∵圖象與x軸交于點A（﹣1，0），對稱軸為直線x=﹣1，

∴圖象與x軸的另一個交點為（3，0），

∴當x=2時，y＜0，

∴4a+2b+c＜0，

故②錯誤；

③∵圖象與x軸交于點A（﹣1，0），

∴當x=﹣1時，y=（﹣1）2a+b×（﹣1）+c=0，

∴a﹣b+c=0，即a=b﹣c，c=b﹣a，

∵對稱軸為直線x=1

∴ =1，即b=﹣2a，

∴c=b﹣a=（﹣2a）﹣a=﹣3a，

∴4ac﹣b2=4a（﹣3a）﹣（﹣2a）2=﹣16a2＜0

∵8a＞0

∴4ac﹣b2＜8a

故③正確

④∵圖象與y軸的交點B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之間，

∴﹣2＜c＜﹣1

∴﹣2＜﹣3a＜﹣1，

∴＞a＞ ；

故④正確

⑤∵a＞0，

∴b﹣c＞0，即b＞c；

故⑤正確；

故答案為：①③④⑤．