Question

【題目】△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是BC上一點，連接AD，將線段AD繞著點A逆時針旋轉，使點D的對應點E在BC的延長線上。過點E作EF⊥AD垂足為點G，

（1）求證：FE=AE；

（2）填空：=__________

（3）若，求的值(用含k的代數式表示)．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）．

【解析】

（1）由，得，由∠AGH=∠ECH=90°，則∠DAC=∠BEF，由軸對稱的性質，得到∠DAC=∠EAC，則∠BEF=∠EAC，利用三角形外角的性質，得到，即可得到結論成立；

（2）過點E作EM⊥BE，交BA延長線于點M，作AN⊥ME于N，先證明△BEF≌△MEA，

得到BF=AM，再利用等腰直角三角形的性質和矩形的性質，得到，DE=2CE=2AN，即可得到答案.

（3）根據題意，先證明，得到，從而得到，再證明，即可得到.

（1）證明：∵，

．

∵垂足為點，

．

∵,

．

∵，

．

∵,

．

在和中，，，，

．

．

∵,,

．

．

（2）如圖，過點E作EM⊥BE，交BA延長線于點M，作AN⊥ME于N，

∵∠ACB=90°，AC=BC，

∴∠B=45°，

∵EM⊥BE，

∴∠M=∠B=45°，

∴BE=ME，

∵FE=AE，

∴△BEF≌△MEA，

∴BF=AM，

∵AN⊥ME，∠M=45°，

∴△AMN是等腰直角三角形，

∴AN=MN，AM=，

易知四邊形ACEN是矩形，

∴CE=AN=MN，

∵DE=2CE=2AN，

∴;

故答案為：；

（3）解：如圖：

∵，，

．

∵,

由（1）知，

．

由（1）知，

．

．

設，，則，，，．

．

．

∵，，

．

．