Question

【題目】如圖，已知直線分別交軸、軸于點A、B，拋物線過A，B兩點，點P是線段AB上一動點，過點P作PC 軸于點C，交拋物線于點D．

（1）若拋物線的解析式為，設其頂點為M，其對稱軸交AB于點N．

①求點M、N的坐標；

②是否存在點P，使四邊形MNPD為菱形？并說明理由；

（2）當點P的橫坐標為1時，是否存在這樣的拋物線，使得以B、P、D為頂點的三角形與AOB相似？若存在，求出滿足條件的拋物線的解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）① ②答案見解析 （2）存在，或

【解析】

（1）①如圖1，把拋物線解析式配成頂點式可得到頂點為的坐標為，，然后計算自變量為對應的一次函數值可得到點坐標；

②易得，設點坐標為，則，則，由于，根據平行四邊形的判定方法，當時，四邊形為平行四邊形，即，求出得到此時點坐標為，，接著計算出，然后比較與的大小關系可判斷平行四邊形是否為菱形；

（2）如圖2，利用勾股定理計算出，再表示出，則可計算出，接著表示出拋物線解析式為，則可用表示出點坐標為，所以，由于，根據相似三角形的判定方法，當時，，即；當時，，即，然后利用比例性質分別求出的值，從而得到對應的拋物線的解析式．

（1）①如圖1，

，

頂點為的坐標為，，

當時，，則點坐標為，；

②不存在．

理由如下：

，

設點坐標為，則，

，

，

當時，四邊形為平行四邊形，即，解得（舍去），，此時點坐標為，，

，

，

平行四邊形不為菱形，

不存在點，使四邊形為菱形；

（2）存在．

如圖2，，，則，

當時，，則，

，

設拋物線的解析式為，

把代入得，解得，

拋物線的解析式為，

當時，，則，

，

，

，

當時，，即，解得，此時拋物線解析式為；

當時，，即，解得，此時拋物線解析式為；

綜上所述，滿足條件的拋物線的解析式為或．