Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線l經過點A（2，-3），與x軸交于點B，且與直線y=3x-

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平行．
（1）求：直線l的函數解析式及點B的坐標；
（2）如直線l上有一點M（a，-6），過點M作x軸的垂線，交直線y=3x-

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于點N，在線段MN上求一點P，使△PAB是直角三角形，請求出點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）設直線l的解析式為：y=kx+b，因為直線l與直線y=3x-

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平行，所以k=3，又直線l經過點A（2，-3），從而求出b的值，進而直線l的函數解析式及點B的坐標可求出；
（2）點M（a，-6）在直線l上，所以可先求出a的值，再分別分：當AB為斜邊時；當PB為斜邊時；當PA為斜邊時，進行討論求出滿足題意的P點的坐標即可．

解答：解：（1）設直線l的解析式為y=kx+b（k≠0），
∵直線l平行于y=3x-

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，
∴k=3，
∵直線l經過點A（2，-3），
∴-3=2×3+b，b=-9，
∴直線l的解析式為y=3x-9，點B坐標為（3，0）；

（2）∵點M（a，-6）在直線l上，
∴a=1，則可設點P（1，y），
∵N(1，

1

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)，∴y的取值范圍是-6≤y≤

1

3

，
當AB為斜邊時，PA²+PB²=AB²，即1+（y+3）²+4+y²=10，
解得y₁=-1，y₂=-2，∴P（1，-1），P（1，-2），
當PB為斜邊時，PA²+AB²=PB²，即1+（y+3）²+10=4+y²，
解得y=-

8

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，∴P(1，-

8

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)，
當PA為斜邊時，PB²+AB²=PA²，即10+4+y²=1+（y+3）²，
解得y=

2

3

，（舍去），
∴綜上所述，點P的坐標為P₁（1，-1），P₂（1，-2），P₃(1，-

8

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)

點評：本題考查了用待定系數法求出一次函數的解析式和一次函數與幾何圖形（直角三角形）問題首先要根據題意畫出草圖，結合圖形分析其中的幾何圖形，從已知函數圖中獲取信息，求出函數值、函數表達式，并解答相應的問題．