Question

【題目】我們知道：有一內角為直角的三角形叫做直角三角形．類似地我們定義：有一內角為45°的三角形叫做半直角三角形．如圖，在平面直角坐標系中，O為原點，A（4，0），B（－4，0），D是y軸上的一個動點，∠ADC=90°(A、D、C按順時針方向排列)， BC與經過A、B、D三點的⊙M交于點E，DE平分∠ADC，連結AE，BD．顯然ΔDCE、ΔDEF、ΔDAE是半直角三角形．

（1）求證：ΔABC是半直角三角形；

（2）求證：∠DEC=∠DEA；

（3）若點D的坐標為（0，8），求AE的長；

（4）BC交y軸于點N，問的值是否發生變化？若不發生變化，請求出其值；若發生變化，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）；（4）不變，為 .

【解析】

（1）先求得∠ADE=45°，由同弧所對的圓周角可知：∠ABE=∠ADE=45°，根據定義得：△ABC是半直角三角形；
（2）根據垂直平分線的性質得：AD=BD，由等角對等邊得：∠DAB=∠DBA，由D、B、A、E四點共圓，
則∠DBA+∠DEA=180°，可得結論；
（3）設⊙M的半徑為r，根據勾股定理列方程為：（8-r）2+42=r2，可得⊙M的半徑為5，由同弧所對的圓心角和圓周角的關系可得∠EMA=2∠ABE=90°，根據勾股定理可得結論；

（4）過點C作CH⊥DO于H，過點C作CQ⊥BA于Q,通過證明Rt△HDC≌Rt△ADO，推出HC=OD，DH=OA，推出CQ= BQ，得出∠CBQ=45°，推出△HCN為等腰直角三角形即可.

解：（1）∵∠ADC=90°，DE平分∠ADC，

∴∠ABE=∠ADE=45

∴ΔABC是半直角三角形

（2））∵OM⊥AB，OA=OB，
∴AD=BD，
∴∠DAB=∠DBA，
∵∠DEB=∠DAB，
∴∠DBA=∠DEB，
∵D、B、A、E四點共圓，
∴∠DBA+∠DEA=180°，
∵∠DEB+∠DEC=180°，
∴∠DEA=∠DEC；

（3））①如圖，連接AM，ME，設⊙M的半徑為r，

∵點D的坐標為（0,8）∴OM=8-r

由得解得r=5 ∴⊙M 的半徑為5

∵∠ABE=45°
∴∠EMA=2∠ABE=90°，
∴EA2=MA2+ME2=52+52=50

∴

（4）不變，為

過點C作CH⊥DO于H，過點C作CQ⊥BA于Q，

∵∠CDH+∠ODA=90°，∠CDH+∠CDH=90°，
∴∠ODA=∠CDA，
在△HDC和△ADO中，

∴Rt△HDC≌Rt△ADO（AAS），
∴HC=OD，DH=OA，
又∵BO=AO，
∴HO=DH+DO=OB+CH，
而，HO=CQ，
∴CQ=OB+OQ=BQ，
∴∠CBQ=45°，
又∵CH∥BA，
∴∠HCN=45°，
∴△HCN為等腰直角三角形，

∴

∴=