Question

【題目】已知拋物線y＝ax2﹣bx．

（1）若此拋物線與直線y＝x只有一個公共點，且向右平移1個單位長度后，剛好過點（3，0）．

①求此拋物線的解析式；

②以y軸上的點P（0，n）為中心，作該拋物線關于點P對稱的拋物線y'，若這兩條拋物線有公共點，求n的取值范圍；

（2）若a＞0，將此拋物線向上平移c個單位（c＞0），當x＝c時，y＝0；當0＜x＜c時，y＞0．試比較ac與1的大小，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①；②n≤0；（2）ac≤1，見解析.

【解析】

（1）①△＝0求解b＝1，將點（3，0）代入平移后解析式，即可；

②頂點為（1，）關于P（0，n）對稱點的坐標是（﹣1，2n﹣），關于點P中心對稱的新拋物線y'＝（x+1）2+2n﹣＝x2+x+2n，聯立方程組即可求n的范圍；

（2）將點（c，0）代入y＝ax2﹣bx+c得到ac﹣b+1＝0，b＝ac+1，當0＜x＜c時，y＞0. ≥c，b≥2ac，ac+1≥2ac，ac≥1；

解：（1）①ax2﹣bx＝x，ax2﹣（b+1）x＝0，

△＝（b+1）2＝0，b＝﹣1，

平移后的拋物線y＝a（x﹣1）2﹣b（x﹣1）過點（3，0），

∴4a﹣2b＝0，

∴a＝﹣，b＝﹣1，

原拋物線：y＝﹣x2+x，

②其頂點為（1，）關于P（0，n）對稱點的坐標是（﹣1，2n﹣），

∴關于點P中心對稱的新拋物線y'＝（x+1）2+2n﹣＝x2+x+2n．

由得：x2+2n＝0有解，所以n≤0．

（2）由題知：a＞0，將此拋物線y＝ax2﹣bx向上平移c個單位（c＞0），

其解析式為：y＝ax2﹣bx+c過點（c，0），

∴ac2﹣bc+c＝0 （c＞0），

∴ac﹣b+1＝0，b＝ac+1，

且當x＝0時，y＝c，

對稱軸：x＝，拋物線開口向上，畫草圖如右所示．

由題知，當0＜x＜c時，y＞0．

∴≥c，b≥2ac，

∴ac+1≥2ac，ac≤1；