Question

【題目】已知：如圖，AD是△ABC的外角∠EAC的平分線，與△ABC的外接圓交于點D，AC與BD相交于點F．

（1）求證：DB＝DC；

（2）若DA＝DF，求證：△BCF∽△BDC．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】

（1）根據圓內接四邊形的性質可證∠EAD=∠DCB，再根據圓周角定理可證∠DAC=∠DBC，又已知∠EAD=∠DAC，即∠DCB=∠DBC得證，再根據等角對等邊即可得證．
（2）先根據DA＝DF得出∠DAF＝∠DFA，再根據圓周角定理∠DAF＝∠FBC，對頂角∠DFA＝∠BFC，得出∠FBC＝∠BFC，再根據相似三角形的判定解答即可．

證明：（1）∵AD是∠EAC的平分線，

∴∠EAD＝∠DAC，

∵∠EAD是圓內接四邊形ABCD的外角，

∴∠EAD＝∠DCB（圓內接四邊形外角等于內對角），

又∵∠DAC＝∠DBC，

∴∠DCB＝∠DBC，

∴DB＝DC；

（2）∵DA＝DF，

∴∠DAF＝∠DFA，

∵∠DAF＝∠FBC，∠DFA＝∠BFC，

∴∠FBC＝∠BFC，

∵∠DCB＝∠DBC，

∴∠DCB＝∠BFC，而∠FBC＝∠DBC，

∴△BCF∽△BDC．