Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，E是AD上一點，MN垂直平分BE，分別交AD，BE，BC于點M，O，N，連接BM，EN

(1)求證：四邊形BMEN是菱形.

(2)若AE＝8，F為AB的中點，BF+OB＝8，求MN的長.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)MN＝.

【解析】

(1)先根據線段垂直平分線的性質證明MB＝ME，由ASA證明△BON≌△EOM，得出ME＝NB，證出四邊形BMEN是平行四邊形，再根據菱形的判定即可得出結論；

(2)根據已知條件得到AB+BE＝2BF+2OB＝16，設AB＝x，則BE＝16﹣x，根據勾股定理得到x＝6，求得BE＝16﹣x＝10，OB＝BE＝5，設ME＝y，則AM＝8﹣y，BM＝ME＝y，根據勾股定理即可得到結論．

(1)證明：∵MN垂直平分BE，

∴MB＝ME，OB＝OE，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠MEO＝∠NBO，

在△BON與△EOM中，，

∴△BON≌△EOM(ASA)，

∴ME＝NB，

又∵AD∥BC，

∴四邊形BMEN是平行四邊形，

又∵MB＝ME，

∴四邊形BMEN是菱形；

(2)解：∵O，F分別為MN，AB的中點，

∴OF∥AD，

∴∠OFB＝∠EAB＝90°，

∵BF+OB＝8，

∴AB+BE＝2BF+2OB＝16，

設AB＝x，則BE＝16﹣x，

在Rt△ABE中，82+x2＝(16﹣x)2，

解得x＝6，

∴BE＝16﹣x＝10，

∴OB＝BE＝5，

設ME＝y，則AM＝8﹣y，BM＝ME＝y，

在Rt△ABM中，62+(8﹣y)2＝y2，

解得y＝，

在Rt△BOM中，MO＝＝，

∴MN＝2MO＝．