Question

【題目】直線AB∥CD，直線EF分別交AB、CD于點A、C，CM是∠ACD的平分線，CM交AB于點N．

（1）如圖①，過點A作AC的垂線交CM于點M，若∠MCD＝55°，求∠MAN的度數；

（2）如圖②，點G是CD上的一點，連接MA、MG，若MC平分∠AMG且∠AMG＝36°，∠MGD+∠EAB＝180°，求∠ACD的度數．

Answer 1

【答案】（1）∠MAN＝20°；（2）∠ACD＝108°．

【解析】

（1）依據角平分線的定義以及平行線的性質，即可得到∠BAC的度數，再根據垂線的定義，即可得出∠MAN的度數；

（2）設∠ACD=α，根據角平分線以及平行線即可得到∠MCG= ，ACD=α，∠BAC=∠MGD=180°-α，依據三角形外角性質，即可得到α的度數．

（1）∵CM是∠ACD的平分線，∠MCD＝55°，

∴∠ACD＝2∠MCD＝110°，

又∵AB∥CD，

∴∠BAC＝180°﹣110°＝70°，

又∵AM⊥EF，

∴∠MAN＝90°﹣70°＝20°；

（2）∵MC平分∠AMG且∠AMG＝36°，

∴∠CMG＝18°，

∵MC平分∠ACG，

∴∠MCG＝∠ACG，

∵∠CAB+∠EAB＝180°，∠MGD+∠EAB＝180°，

∴∠BAC＝∠MGD，

∵AB∥CD，

∴∠BAC+∠ACD＝180°，

設∠ACD＝α，則∠MCG＝ACD＝α，∠BAC＝∠MGD＝180°﹣α，

∵∠MGD是△CMG的外角，

∴∠MGD＝∠CMG+∠MCG，即180°﹣α＝α+18°，

解得α＝108°，

∴∠ACD＝108°．