Question

附加題：已知線段AB=m，CD=n，線段CD在直線AB上運動（A在B左側，C在D左側），若|m-2n|=-（6-n）²．

（1）求線段AB、CD的長；
（2）M、N分別為線段AC、BD的中點，若BC=4，求MN；
（3）當CD運動到某一時刻時，D點與B點重合，P是線段AB延長線上任意一點，下列兩個結論：①

PA-PB

PC

是定值；②

PA+PB

PC

是定值，請選擇正確的一個并加以證明．

Answer 1

分析：（1）|m-2n|與（6-n）的平方互為相反數，可以推出二者都為零，否則一個正數是不可能等于一個負數的，所以n=6，m=12；
（2）需要分類討論：①如圖1，當點C在點B的右側時，根據“M、N分別為線段AC、BD的中點”，先計算出AM、DN的長度，然后計算MN=AD-AM-DN；②如圖2，當點C位于點B的左側時，利用線段間的和差關系求得MN的長度；
（3）計算①或②的值是一個常數的，就是符合題意的結論．

解答：解：（1）∵|m-2n|=-（6-n）²
∴n=6，m=12，
∴CD=6，AB=12；

（2）如圖1，∵M、N分別為線段AC、BD的中點，
∴AM=

1

2

AC=

1

2

（AB+BC）=8，
DN=

1

2

BD=

1

2

（CD+BC）=5，
∴MN=AD-AM-DN=9；
如圖2，∵M、N分別為線段AC、BD的中點，
∴AM=

1

2

AC=

1

2

（AB-BC）=4，
DN=

1

2

BD=

1

2

（CD-BC）=1，
∴MN=AD-AM-DN=12+6-4-4-1=9；

（3）②正確．
證明：

PA+PB

PC

=2．
∵

PA+PB

PC

=

(PC+AC)+(PC-CB)

PC

=

2PC

PC

=2，
∴②

PA+PB

PC

是定值2．

點評：本題考查了比較線段的長短．利用中點性質轉化線段之間的倍分關系是解題的關鍵，在不同的情況下靈活選用它的不同表示方法，有利于解題的簡潔性．同時，靈活運用線段的和、差、倍、分轉化線段之間的數量關系也是十分關鍵的一點．