Question

（附加題）已知：拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，其中點B在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，線段OB、OC的長（OB＜OC）是方程x²-10x+16=0的兩個根，且拋物線的對稱軸是直線x=-2．
（1）求A、B、C三點的坐標；
（2）求此拋物線的表達式；
（3）求△ABC的面積；
（4）若點E是線段AB上的一個動點（與點A、點B不重合），過點E作EF∥AC交BC于點F，連接CE，設AE的長為m，△CEF的面積為S，求S與m之間的函數關系式，并寫出自變量m的取值范圍；
（5）在（4）的基礎上試說明S是否存在最大值？若存在，請求出S的最大值，并求出此時點E的坐標，判斷此時△BCE的形狀；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先解一元二次方程，得到線段OB、OC的長，也就得到了點B、C兩點坐標，根據拋物線的對稱性可得點A坐標；
（2）把A、B、C三點代入二次函數解析式就能求得二次函數解析式；
（3）利用A、B、C三點坐標得出AB，CO的長，即可得出△ABC的面積；
（4）易得S_△EFC=S_△BCE-S_△BFE，只需利用平行得到三角形相似，求得EF長，進而利用相等角的正弦值求得△BEF中BE邊上的高；
（5）利用二次函數求出最值，進而求得點E坐標．OC垂直平分BE，那么EC=BC，所求的三角形是等腰三角形．

解答：解：（1）解方程x²-10x+16=0得x₁=2，x₂=8，
∵點B在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，且OB＜OC，
∴點B的坐標為（2，0），點C的坐標為（0，8），
又∵拋物線y=ax²+bx+c的對稱軸是直線x=-2，
∴由拋物線的對稱性可得點A的坐標為（-6，0）；

（2）∵點C（0，8）在拋物線y=ax²+bx+c的圖象上，
∴c=8，將A（-6，0）、B（2，0）代入表達式，
得：

0=36a-6b+8 0=4a+2b+8

，
解得

a=- 2 3 b=- 8 3

，
∴所求拋物線的表達式為y=-

2

3

x²-

8

3

x+8；

（3）∵點B的坐標為（2，0），點C的坐標為（0，8），點A的坐標為（-6，0）；
∴AB=2+6=8，CO=8，
∴△ABC的面積為：S_△ABC=

1

2

×AB×CO=

1

2

×8×8=32；

（4）依題意，AE=m，則BE=8-m，
∵OA=6，OC=8，
∴AC=10
∵EF∥AC
∴△BEF∽△BAC
∴

EF

AC

=

BE

AB

，即

EF

10

=

8-m

8

∴EF=

40-5m

4

（6分）
過點F作FG⊥AB，垂足為G，
則sin∠FEG=sin∠CAB=

4

5

，
∴

FG

EF

=

4

5

，
∴FG=

4

5

•

40-5m

4

=8-m，
∴S=S_△BCE-S_△BFE=

1

2

（8-m）×8-

1

2

（8-m）（8-m），
=

1

2

（8-m）（8-8+m）=

1

2

（8-m）m=-

1

2

m²+4m，
自變量m的取值范圍是0＜m＜8；

（5）存在．
理由：∵S=-

1

2

m²+4m=-

1

2

（m-4）²+8且-

1

2

＜0，
∴當m=4時，S有最大值，S_最大值=8，
∵m=4，
∴點E的坐標為（-2，0），
∴△BCE為等腰三角形．

點評：本題主要考查了一元二次方程的解法；用待定系數法求二次函數解析式以及求二次函數的最值等知識點，關鍵是根據坐標確定二次函數式，求出s和m的函數關系式，以及看看是否有最大值，確定三角形的形狀．