Question

【題目】如圖1所示，A、B兩點同時從原點O出發，點A以每秒x個單位長度沿x軸的負方向運動，點B以每秒y個單位長度沿y軸的正方向運動．

（1）若|x+2y-10|+|2x-y|=0，試分別求出1秒鐘后△AOB的面積；

（2）如圖2，所示，設∠BAO的鄰補角和∠ABO的鄰補角的平分線相交于點P，問：點A、B在運動的過程中，∠P的大小是否會發生變化？若不發生變化，請求出其值；若發生變化，請說明理由；

（3）如圖3所示，延長BA至E，在∠ABO的內部作射線BF交x軸于點C，若∠EAC、∠FCA、∠ABC的平分線相交于點G，過點G作BE的垂線，垂足為H，設∠AGH=α，∠BGC=β，試探究出α和β滿足的數量關系并給出證明．

Answer 1

【答案】（1）1秒鐘后△AOB的面積=4；（2）點A、B在運動的過程中，∠P的大小不變，∠P=45°，理由見解析；（3）α=β，理由見解析.

【解析】

（1）解二元一次方程組求出x、y，得到OA、OB的長，根據三角形的面積公式計算，得到答案；
（2）根據角平分線的定義得到∠PAB=∠EAB，∠PBA=∠FBA，根據三角形內角和定理計算即可；
（3）作GM⊥BF于點M，根據三角形的外角性質、直角三角形的性質計算．

（1）由題意得，，

解得， ，

由題意得，1秒鐘后OA=2，OB=4，

則1秒鐘后△AOB的面積= ×2×4=4；

（2）點A、B在運動的過程中，∠P的大小不變，∠P=45°，

理由如下：∵∠AOB=90°

∴∠OAB+∠OBA=90°

∴∠EAB+∠FBA=270°，

∵AP平分∠EAB，

∴∠PAB=∠EAB，

同理，∠PBA=∠FBA，

∴∠PAB+∠PBA=（∠EAB+∠FBA）=135°，

∴∠P=180°-135°=45°；

（3）α=β，

理由如下：作GM⊥BF于點M，

∠AGH=90°- ∠EAC

=90°- （180°-∠BAC）

= ∠BAC，

∠BGC=∠BGM-∠CGM

=90°-∠ABC-（90°-∠ACF）

= （∠ACF-∠ABC）

= ∠BAC

∴∠AGH=∠BGC，即α=β．