Question

（2012•鹽都區一模）問題提出
我們在分析解決某些數學問題時，經常要比較兩個數或代數式的大小，而解決問題的策略一般要進行一定的轉化，其中“作差法”就是常用的方法之一．所謂“作差法”：就是通過作差、變形，并利用差的符號確定他們的大小，即要比較代數式M、N的大小，只要作出它們的差M-N，若M-N＞0，則M＞N；若M-N=0，則M=N；若M-N＜0，則M＜N．
問題解決
如圖1，把邊長為a+b（a≠b）的大正方形分割成兩個邊長分別是a、b的小正方形及兩個矩形，試比較兩個小正方形面積之和M與兩個矩形面積之和N的大小．
解：由圖可知：M=a²+b²，N=2ab．
∴M-N=a²+b²-2ab=（a-b）²．
∵a≠b，∴（a-b）²＞0．
∴M-N＞0．
∴M＞N．
類比應用
（1）已知：多項式M=2a²-a+1，N=a²-2a．試比較M與N的大小．
（2）已知：如圖2，銳角△ABC （其中BC為a，AC為b，AB為c）三邊滿足a＜b＜c，現將△ABC 補成長方形，使得△ABC的兩個頂
點為長方形的兩個端點，第三個頂點落在長方形的這一邊的對邊上．
①這樣的長方形可以畫

3

個；
②所畫的長方形中哪個周長最小？為什么？
拓展延伸
已知：如圖3，銳角△ABC（其中BC為a，AC為b，AB為c）三邊滿足a＜b＜c，畫其BC邊上的內接正方形EFGH，使E、F兩點在邊BC上，G、H分別在邊AC、AB上，同樣還可畫AC、AB邊上的內接正方形，問哪條邊上的內接正方形面積最大？為什么？

Answer 1

分析：（1）相減后畫出頂點式，即可得出答案；
（2）①畫出圖形，即可得出答案；②以最短邊a為邊的長方形周長最小，設△ABC的面積為S，三個長方形的周長分別為L_a，L_b，L_c，得出三個長方形的面積相等，都是2S，求出L_a=2（

2S

a

+a），L_b=2（

2S

b

+b），Lc=2（

2S

c

+c），再相減比較即可；
拓展延伸，設a邊上的內接正方形邊長為x，根據△AHG∽△ABC，求出x=

aha

a+ha

，根據a+h_a最小和ah_a=2S得出x為最大．

解答：解：（1）∵M-N=（2a²-a+1）-（a²-2a）=a²+a+1=（a+

1

2

）²+

3

4

＞0，
∴M＞N；
（2）①如圖所示：

符合條件的圖形有3個，
故答案為：3；

②以最短邊a為邊的長方形周長最小，
理由是：設△ABC的面積為S，三個長方形的周長分別為L_a，L_b，L_c，
根據三角形的面積和長方形的面積可知：三個長方形的面積相等，都是2S，
L_a=2（

2S

a

+a），L_b=2（

2S

b

+b），Lc=2（

2S

c

+c），
L_a-L_b=2（a-b）（1-

2S

ab

），
∵S=

1

2

ah_a＜

1

2

ab（h_a＜b），
∴2S＜ab，
∴1-

2S

ab

＞0，
∵a＜b，
∴a-b＜0，
∴2（a-b）（1-

2S

ab

）＜0，
∴L_a＜L_b，
同理L_b＜L_c，
∴L_a＜L_b＜L_c；
拓展延伸
a邊上的內接正方形面積最大，
理由是：a邊上的內接正方形邊長為x，

∵△AHG∽△ABC，
∴

x

a

=

ha-x

ha

，
x=

aha

a+ha

，
由上題可知，a+h_a最小，且ah_a=2S（定值），
∴x為最大，
∴a邊上的內接正方形面積最大．

點評：本題考查了相似三角形的性質和判定，三角形的面積的應用，主要考查學生的計算能力和理解能力，題目比較好，但是有一定的難度．