Question

（11·肇慶）(本小題滿分10分)己知：如圖10．△ABC內接于⊙O，AB為直徑，∠CBA的平分線交AC干點F，交⊙O于點D，DE⊥AB于點E，且交AC于點P，連結AD．
（1）求證：∠DAC＝∠DBA
（2）求證：P處線段AF的中點
．

Answer 1

（1）∵BD平分∠CBA，
∴∠CBD＝∠DBA
∵∠DAC與∠CBD都是所對的圓周角
∴∠DAC＝∠CBD………………………………………………………………1分
∴∠DAC＝∠DBA………………………………………………………………2分
（2）∵AB為⊙O的直徑     
∴∠ADB＝90°………………………………………………………………………3分
又∵DE⊥AB于點E，∴∠DEB＝90°
∴∠ADE＋∠EDB＝∠ABD＋∠EDB＝90°
∴∠ADE＝∠ABD＝∠DAP………………………………………………………4分
∴PD＝PA …………………………………………………………………………5分
又∵∠DFA＋∠DAC＝∠ADE＋∠PDF＝90°且∠ADE＝∠DAC
∴∠PDF＝∠PFD……………………………………………………………………6分
∴PD＝PF
∴PA＝PF 即P是線段AF的中點………………………………………………7分
（3）∵∠DAF＝∠DBA  ∠ADB＝∠FDA＝90°
∴△FDA∽△ADB……………………………………………………………………8分

略