Question

【題目】如圖，點M是正方形ABCD的邊BC上一點，連接AM，點E是線段AM上一點，∠CDE的平分線交AM延長線于點F．

(1)如圖1，若點E為線段AM的中點，BM：CM＝1：2，BE＝，求AB的長；

(2)如圖2，若DA＝DE，求證：BF+DF＝AF．

Answer 1

【答案】(1)AB＝6；(2)證明見解析.

【解析】

（1）設BM＝x，則CM＝2x，BC＝BA＝3x；在Rt△ABM中，E為斜邊AM中點，根據直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半可得AM＝2BE＝2．由勾股定理可得AM2＝MB2+AB2，即可得40＝x2+9x2，解得x＝2．所以AB＝3x＝6；（2）延長FD交過點A作垂直于AF的直線于H點，過點D作DP⊥AF于P點．證明△ABF≌△ADH，根據全等三角形的性質可得AF＝AH，BF＝DH．再由Rt△FAH是等腰直角三角形，可得HF＝AF．由HF＝DH+DF＝BF+DF，可得BF+DF＝AF．

解：(1)設BM＝x，則CM＝2x，BC＝3x，

∵BA＝BC，

∴BA＝3x．

在Rt△ABM中，E為斜邊AM中點，

∴AM＝2BE＝2．

由勾股定理可得AM2＝MB2+AB2，

即40＝x2+9x2，解得x＝2．

∴AB＝3x＝6．

(2)延長FD交過點A作垂直于AF的直線于H點，過點D作DP⊥AF于P點．

∵DF平分∠CDE，

∴∠1＝∠2．

∵DE＝DA，DP⊥AF

∴∠3＝∠4．

∵∠1+∠2+∠3+∠4＝90°，

∴∠2+∠3＝45°．

∴∠DFP＝90°﹣45°＝45°．

∴AH＝AF．

∵∠BAF+∠DAF＝90°，∠HAD+∠DAF＝90°，

∴∠BAF＝∠DAH．

又AB＝AD，

∴△ABF≌△ADH(SAS)．

∴AF＝AH，BF＝DH．

∵Rt△FAH是等腰直角三角形，

∴HF＝AF．

∵HF＝DH+DF＝BF+DF，

∴BF+DF＝AF．