Question

如圖，在Rt△ABC中，AB=BC，D為AC邊的中點，過點D作DE⊥DF，交AB于點E，交BC于點F．
（1）試判斷線段DE與DF是否相等？并說明理由；
（2）若AE=4，FC=3，求線段EF的長．

Answer 1

（1）DE=DF，理由如下：
如圖，連接BD．
∵等腰直角三角形ABC中，D為AC邊上中點，
∴BD⊥AC，BD=CD=AD，∠ABD=45°，
∴∠C=45°，
∴∠ABD=∠C．
∵DE丄DF，
∴∠FDC+∠BDF=∠EDB+∠BDF，
∴∠FDC=∠EDB．
在△EDB與△FDC中，
∵

∠EBD=∠C BD=CD ∠EDB=∠FDC

，
∴△EDB≌△FDC（ASA），
∴DE=DF；

（2）∵△EDB≌△FDC，
∴BE=FC=3，
∴AB=AE+BE=4+3=7，則BC=AB=7，
∴BF=BC-CF=7-3=4．
在Rt△EBF中，∵∠EBF=90°，
∴EF²=BE²+BF²=3²+4²，
∴EF=5．
故線段EF的長為5．