Question

【題目】已知點O是等腰直角三角形ABC斜邊上的中點，AB=BC,E是AC上一點，連結EB.

(1) 如圖1，若點E在線段AC上,過點A作AM⊥BE，垂足為M，交BO于點F．求證：OE=OF；

(2)如圖2，若點E在AC的延長線上，AM⊥BE于點M，交OB的延長線于點F，其它條件不變，則結論“OE=OF”還成立嗎？如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】試題分析：（1）由三角形ABC是等腰直角三角形，AB=BC，得到∠BAC=∠ACB=45°，又由點O是AC邊上的中點，得到∠BOE=∠AOF=90°，∠ABO=∠CBO=45°，從而得到∠BAC=∠ABO，OB=OA，又由AM⊥BE，得到∠MEA+∠MAE=90°=∠AFO+∠MAE，

故有∠MEA=∠AFO，得到Rt△BOE≌Rt△AOF，從而得到結論；

（2）同（1）可證明Rt△BOE≌Rt△AOF，從而得到OE=OF．

試題解析：（1）證明：∵三角形ABC是等腰直角三角形，AB=BC，

∴∠BAC=∠ACB=45°

又點O是AC邊上的中點，

∴∠BOE=∠AOF=90°，∠ABO=∠CBO=45°

∴∠BAC=∠ABO，∴OB=OA，

又∵AM⊥BE，

∴∠MEA+∠MAE=90°=∠AFO+∠MAE，

∴∠MEA=∠AFO，

∴Rt△BOE≌Rt△AOF，∴OE=OF；

（2）OE=OF成立；

證明：∵三角形ABC是等腰直角三角形，AB=BC，

∴∠BAC=∠ACB=45°

又點O是AC邊上的中點，

∴∠BOE=∠AOF=90°，∠ABO=∠CBO=45°

∴∠BAC=∠ABO，∴OB=OA，

又∵AM⊥BE，

∴∠F+∠MBF=90°=∠B+∠OBE，

又∵∠MBF=∠OBE，∴∠F=∠E，

∴Rt△BOE≌Rt△AOF，

∴OE=OF．