Question

【題目】已知：如圖，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，點D、E分別是邊AB、BC的中點，點F、G是邊AC的三等分點，DF、EG的延長線相交于點H，連接HA、HC．

(1)求證：四邊形FBGH是菱形；

(2)求證：四邊形ABCH是正方形．

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2）見解析

【解析】

（1）由三角形中位線知識可得DF∥BG，GH∥BF，根據菱形的判定的判定可得四邊形FBGH是菱形；
（2）連結BH，交AC于點O，利用平行四邊形的對角線互相平分可得OB=OH，OF=OG，又AF=CG，所以OA=OC．再根據對角線互相垂直平分的平行四邊形得證四邊形ABCH是菱形，再根據一組鄰邊相等的菱形即可求解．

（1）∵點F、G是邊AC的三等分點，
∴AF=FG=GC．
又∵點D是邊AB的中點，
∴DH∥BG．
同理：EH∥BF．
∴四邊形FBGH是平行四邊形，
連結BH，交AC于點O，
∴OF=OG，
∴AO=CO，
∵AB=BC，
∴BH⊥FG，
∴四邊形FBGH是菱形；
（2）∵四邊形FBGH是平行四邊形，
∴BO=HO，FO=GO．
又∵AF=FG=GC，
∴AF+FO=GC+GO，即：AO=CO．
∴四邊形ABCH是平行四邊形．
∵AC⊥BH，AB=BC，
∴四邊形ABCH是正方形．