Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的切線，BC與⊙O相交于點D，點E在⊙O上，且DE=DA，AE與BC相交于點F．

（1）求證：FD=DC；

（2）若AE=8，DE=5，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）由切線的性質得BA⊥AC，則∠2+∠BAD=90°，再根據圓周角定理得∠ADB=90°，則∠B+∠BAD=90°，所以∠B=∠2，接著由DA=DE得到∠1=∠E，由圓周角定理得∠B=∠E，所以∠1=∠2，可判斷AF=AC，根據等腰三角形的性質得FD=DC；
（2）作DH⊥AE于H，如圖，根據等腰三角形的性質得AH=EH=AE=4，再根據勾股定理可計算出DH=3，然后證明△BDA∽△EHD，利用相似比可計算出AB=，從而可得⊙O的半徑．

（1）證明：∵AC是⊙O的切線，

∴BA⊥AC，

∴∠2+∠BAD=90°，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，

∴∠B+∠BAD=90°，

∴∠B=∠2，

∵DA=DE，

∴∠1=∠E，

而∠B=∠E，

∴∠B=∠1，

∴∠1=∠2，

∴AF=AC，

而AD⊥CF，

∴FD=DC；

（2）解：作DH⊥AE于H，如圖，

∵DA=DE=5，

∴AH=EH=AE=4，

在Rt△DEH中，DH= =3，

∵∠B=∠E，∠ADB=∠DHE=90°，

∴△BDA∽△EHD，

∴=，即=，

∴AB=，

∴⊙O的半徑為．