Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2AD，點 E、F分別是AB、CD的中點，過點A作AG∥BD，交CB的延長線于點G．
（1）求證：四邊形DEBF是菱形；
（2）請判斷四邊形AGBD是什么特殊四邊形？并加以證明．

 

 

Answer 1

（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD且AB=CD，AD∥BC且AD=BC．
E，F分別為AB，CD的中點，
∴BE=AB，DF=CD，
∴BE=BF，
∴四邊形DEBF是平行四邊形
在△ABD中，E是AB的中點，
∴AE=BE=AB=AD，
而∠DAB=60°，
∴△AED是等邊三角形，即DE=AE=AD，
故DE=BE．
∴平行四邊形DEBF是菱形．
（2）【解析】
四邊形AGBD是矩形，理由如下：
∵AD∥BC且AG∥DB，
∴四邊形AGBD是平行四邊形．
由（1）的證明知AD=DE=AE=BE，
∴∠ADE=∠DEA=60°，
∠EDB=∠DBE=30°．
故∠ADB=90°．
∴平行四邊形AGBD是矩形．

 

【解析】

（1）利用平行四邊形的性質證得△AED是等邊三角形，從而證得DE=BE，問題得證；
（2）利用平行四邊形的性質證得∠ADB=90°，利用有一個角是直角的平行四邊形是矩形判定矩形．