Question

30、如圖所示，以△ABC的三邊為邊，分別作三個等邊三角形．
（1）求證四邊形ADEF是平行四邊形；
（2）△ABC滿足什么條件時，四邊形ADEF是菱形是矩形？
（3）這樣的平行四邊形ADEF是否總是存在？

Answer 1

分析：（1）易證△DBE≌△ABC，即可證得DE=AC=AF，同理可證得DA=EF那么四邊形ADEF是平行四邊形．
（2）由于平行四邊形的鄰邊等于△ABC的AB或AC，所以應讓AB=AC．
（3）平行四邊形要想成立，相鄰的三點應構成三角形，看是否存在在一條直線上的情況．

解答：（1）證明：∵△ABD，△BCE，△ACF都是等邊三角形，
∴AB=BD=AD，∠ABD=∠EBC=∠BCE=∠ACF=60°，
BC=BE=CE，AC=AF=FC．
∵∠ABD=∠EBC=60°，
∴∠ABD-∠ABE=∠EBC-∠ABE．
∴∠DBE=∠ABC，
∴△DBE≌△ABC，
∴DE=AC．
∵AC=AF，
∴DE=AF．
同理可得，△EFC≌△BAC，
得EF=AB，
∴EF=AD，
∴四邊形ADEF是平行四邊形．

（2）解：當AB=AC時，四邊形ADEF是菱形．理由如下：
∵AB=AD，AF=AC，
又AB=AC，
∴AD=AF．
又∵四邊形ADEF為平行四邊形，
∴平行四邊形ADEF是菱形．
當∠BAC=150°時，四邊形ADEF是矩形．
理由如下：
∵∠BAD=∠CAF=60°，∠BAC=150°，∠BAD+∠CAF+∠BAC+∠DAF=360°，
∠DAF=90度．
又∵四邊形ADEF是平行四邊形，
∴四邊形平行四邊形ADEF是矩形．

（3）當∠BAC=60°時，不存在這樣的平行四邊形ADEF．理由如下：
∵當∠BAC=60°時，
有∠DAF=60°+60°+60°=180°，
即D，A，F三點在同一直線上時，不存在這樣的平行四邊形ADEF．

點評：當兩個或兩個以上等邊三角形出現時，要利用等邊三角形的邊和角相等證得相應的三角形全等．用到的知識點為：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形．