Question

【題目】如圖，拋物線經過點，，直線：交軸于點，且與拋物線交于，兩點，為拋物線上一動點（不與，重合）.

（1）求拋物線的解析式；

（2）當點在直線下方時，過點作軸交于點，軸交于點，求的最大值.

（3）設為直線上的點，以，，，為頂點的四邊形能否構成平行四邊形？若能，求出點的坐標；若不能，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）當時，的最大值是；（3）能，點的坐標為，，或.

【解析】

（1）把B（3，0），C（0，2）代入解方程組即可得到結論；

（2）設P（m，），得到N（m，），，由兩點間的距離公式得到關于m的二次函數，根據二次函數的性質即可得到結論；

（3）求得E（0，），得到CE＝，設P（m，），①以CE為邊，根據CE＝PF，列方程得到m＝1，m＝0（舍去），②以CE為對角線，連接PF交CE于G，CG＝GE，PG＝FG，得到G（0，），設P（m，），則F（m，），列方程得到此方程無實數根，于是得到結論．

解：（1）把，代入得，

∴.

∴拋物線的解析式為：.

（2）設，

∵軸，軸，，在直線上，

∴，，

∴

，

∴當時，的最大值是；

（3）能，

理由：∵交y軸于點E，

∴E（0，），

∴CE＝，

設P（m，），

若以E，C，P，F為頂點的四邊形能構成平行四邊形，

①以CE為邊，∴CE∥PF，CE＝PF，

∴F（m，），

∴或，

∴m1＝1，m2＝0（舍去），m3＝，m4＝，

∴F1（1，），F2（），F3（），

②以CE為對角線，連接PF交CE于G，

∴CG＝GE，PG＝FG，

∴G（0，），

設P（m，），則F（m，），

∴×（，

∴m＝1，m＝0（舍去），

F4（1，0），

綜上所述點的坐標為，，或.