Question

8．如圖，直線y=kx-4（k＞0）與雙曲線y=$\frac{k}{x}$在第一象限內交于點R，與x，y軸的交點分別為P，Q；過R作RM⊥x軸，M為垂足，若△OPQ與△PRM的面積相等，則k的值等于4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 分別將x=0、y=0代入一次函數解析式求出與之對應的y、x值，由此即可得出點Q、P的坐標，再根據RM⊥x軸結合公共角∠OPQ=∠MPR即可得出△OPQ∽△MPR，結合兩三角形面積相等即可得出△OPQ≌△MPR，依據全等三角形的性質即可得出點R的坐標，將其代入反比例函數解析式中即可得出關于k的分式方程，解之即可得出結論．

解答 解：當x=0時，y=kx-4=-4，
∴點Q（0，-4）；
當y=kx-4=0時，x=$\frac{4}{k}$，
∴點P（$\frac{4}{k}$，0）．
∵RM⊥x軸，
∴∠POQ=∠PMR=90°．
又∵∠OPQ=∠MPR，
∴△OPQ∽△MPR．
∵△OPQ與△PRM的面積相等，
∴△OPQ≌△MPR，
∴OP=MP，OQ=MR，
∴點R（$\frac{8}{k}$，4）．
∵點R在雙曲線y=$\frac{k}{x}$上，
∴4=$\frac{k}{\frac{8}{k}}$，解得：k=4$\sqrt{2}$或k=-4$\sqrt{2}$（舍去）．
經檢驗，k=4$\sqrt{2}$是方程4=$\frac{k}{\frac{8}{k}}$的解．
故答案為：4$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題、一次函數圖象上點的坐標特征、相似三角形的判定、全等三角形的性質以及反比例函數圖象上點的坐標特征，根據全等三角形的性質找出點R的坐標是解題的關鍵．