Question

如圖，在平面直角坐標系中，Rt△AOB的頂點坐標分別為A（0，2），O（0，0），B（4，0），把△AOB繞點O逆時針方向旋轉90°得到△COD（點A轉到點C的位置），拋物線=ax²+bx+c（a≠0）經過C、D、B三點．注：拋物線的頂點坐標為
（-，）
（1）求拋物線的解析式；
（2）若拋物線的頂點為P，△PAB的面積；
（3）在拋物線上是否存在點M，使△MBC的面積等于△PAB的面積？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由題意C（-2，0），D（0，4），
則可設拋物線的解析式y=ax²+bx+4，
依題意，
∴，
∴y=-x²+x+4，
答：拋物線的解析式是y=-x²+x+4．

（2）由（1）得P（1，），
連接PA、PB過點P作PE⊥Y軸于點E
則S_△PAB=S_{四邊形PEOB}-S_△PEA-S_△AOB=6，
答：△PAB的面積是6．

（3）設存在點M，其坐標為M（x，y），則|y|×6=6，
∴y=±2，
當y=2時，-x²+x+4=2，解得：x=1±，
當y=-2時，-x²+x+4=-2，解得：x=1±，
∴存在點M，使△MBC的面積等于△PAB的面積，其坐標為：
M₁（1+，2），M₂（1-，2），M₃（1+，-2），M₄（1-，-2）．
答：在拋物線上存在點M，使△MBC的面積等于△PAB的面積，點M的坐標是
M₁（1+，2），M₂（1-，2），M₃（1+，-2），M₄（1-，-2）．
分析：（1）由題意C（-2，0），D（0，4），設拋物線的解析式y=ax²+bx+4，代入得到方程組，求出方程組的解即可；
（2）由（1）得P（1，），連接PA、PB過點P作PE⊥Y軸于點E，根據S_△PAB=S_{四邊形PEOB}-S_△PEA-S_△AOB即可求出答案；
（3）設存在點M，其坐標為M（x，y），則|y|×6=6得出y=±2，代入解析式即可求出x，即可得到答案．
點評：本題主要考查對解一元二次方程，解二元一次方程組，三角形的面積，用待定系數法求二次函數的解析式等知識點的理解和掌握，熟練地運用這些性質進行計算是解此題的關鍵．