Question

【題目】如圖，△ABC中，∠BAC=60°，∠BAC的平分線AD與邊BC的垂直平分線MD相交于D，DE⊥AB交AB的延長線于E，DF⊥AC，現有下列結論：①DE=DF； ②DE+DF=AD； ③DM平分∠ADF； ④AB+AC=2AE,其中正確的個數有( )

A.1個B.2個C.3個D.4個

Answer 1

【答案】C

【解析】

①由角平分線的性質可知①正確；②由題意可知∠EAD＝∠FAD＝30°，故可得ED＝AD，DF＝AD，從而可證明②正確；③若DM平分∠ADF，則∠EDM＝90°，從而得到∠ABC為直角三角形，條件不足，不能確定，故③錯誤；④證明△EBD≌△DFC和Rt△AED≌Rt△AFD，從而得到BE＝FC，AE＝AF，進而可證明④正確．

解：如圖所示：連接BD、DC．

①∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE＝DF，

∴①正確；

②∵∠EAC＝60°，AD平分∠BAC，

∴∠EAD＝∠FAD＝30°，

∵DE⊥AB，

∴∠AED＝90°，

∴ED＝AD，

同理：DF＝AD，

∴DE＋DF＝AD，

∴②正確；

③由題意可知：∠EDA＝∠ADF＝60°，

假設DM平分∠ADF，則∠ADM＝30°，則∠EDM＝90°，

又∵∠E＝∠BMD＝90°，

∴∠EBM＝90°，

∴∠ABC＝90°，

∵不知道∠ABC是否等于90°，

∴不能判定DM平分∠ADF，

∴③錯誤；

④∵DM是BC的垂直平分線，

∴DB＝DC，

在Rt△BED和Rt△CFD中，，

∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），

∴BE＝FC，

同理可證，Rt△AED≌Rt△AFD，

∴AE＝AF，

∴AB＋AC＝AEBE＋AF＋FC＝2AE，

∴④正確，

故選：C．