Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點A（10，0），以OA為直徑在第一象限內作半圓C，點B是該半圓周上一動點，連接OB、AB，并延長AB至點D，使DB=AB，過點D作x軸垂線，分別交x軸、直線OB于點E、F，點E為垂足，連接CF．
（1）當∠AOB=30°時，求弧AB的長度；
（2）當DE=8時，求線段EF的長；
（3）在點B運動過程中，是否存在以點E、C、F為頂點的三角形與△AOB相似？若存在，請求出此時點E的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接BC，

∵A（10，0），∴OA=10，CA=5，

∵∠AOB=30°，

∴∠ACB=2∠AOB=60°，

∴弧AB的長=

（2）解：①若D在第一象限，

連接OD，

∵OA是⊙C直徑，

∴∠OBA=90°，

又∵AB=BD，

∴OB是AD的垂直平分線，

∴OD=OA=10，

在Rt△ODE中，

OE= = ，

∴AE=AO﹣OE=10﹣6=4，

由∠AOB=∠ADE=90°﹣∠OAB，∠OEF=∠DEA，

得△OEF∽△DEA，

∴ ，即 ，

∴EF=3；

②若D在第二象限，

連接OD，

∵OA是⊙C直徑，

∴∠OBA=90°，

又∵AB=BD，

∴OB是AD的垂直平分線，

∴OD=OA=10，

在Rt△ODE中，

OE= = ，

∴AE=AO+OE=10+6=16，

由∠AOB=∠ADE=90°﹣∠OAB，∠OEF=∠DEA，

得△OEF∽△DEA，

∴ ，即 = ，

∴EF=12；

∴EF=3或12；

（3）解：設OE=x，

①當交點E在O，C之間時，由以點E、C、F為頂點的三角

形與△AOB相似，有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB，

當∠ECF=∠BOA時，此時△OCF為等腰三角形，點E為OC

中點，即OE= ，

∴E1（ ，0）；

當∠ECF=∠OAB時，有CE=5﹣x，AE=10﹣x，

∴CF∥AB，有CF= ，

∵△ECF∽△EAD，

∴ ，即 ，解得： ，

∴E2（ ，0）；

②當交點E在點C的右側時，

∵∠ECF＞∠BOA，

∴要使△ECF與△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO，

連接BE，

∵BE為Rt△ADE斜邊上的中線，

∴BE=AB=BD，

∴∠BEA=∠BAO，

∴∠BEA=∠ECF，

∴CF∥BE，

∴ ，

∵∠ECF=∠BAO，∠FEC=∠DEA=90°，

∴△CEF∽△AED，

∴ ，

而AD=2BE，

∴ ，

即 ，解得 ＜0（舍去），

∴E3（ ，0）；

③當交點E在點O的左側時，

∵∠BOA=∠EOF＞∠ECF．

∴要使△ECF與△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO

連接BE，得BE= =AB，∠BEA=∠BAO

∴∠ECF=∠BEA，

∴CF∥BE，

∴ ，

又∵∠ECF=∠BAO，∠FEC=∠DEA=90°，

∴△CEF∽△AED，

∴ ，

而AD=2BE，

∴ ，

∴ ，

解得x1= ，x2= （舍去），

∵點E在x軸負半軸上，

∴E4（ ，0），

綜上所述：存在以點E、C、F為頂點的三角形與△AOB相似，

此時點E坐標為：E1（ ，0）、E2（ ，0）、E3（ ，0）、E4（ ，0）．

【解析】（1）連接BC，由已知得∠ACB=2∠AOB=60°，AC= AO=5，根據弧長公式求解；（2）連接OD，由垂直平分線的性質得OD=OA=10，又DE=8，在Rt△ODE中，由勾股定理求OE，依題意證明△OEF∽△DEA，利用相似比求EF；（3）存在．當以點E、C、F為頂點的三角形與△AOB相似時，分為①當交點E在O，C之間時，由以點E、C、F為頂點的三角形與△AOB相似，有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB，②當交點E在點C的右側時，要使△ECF與△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO，③當交點E在點O的左側時，要使△ECF與△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO，三種情況，分別求E點坐標．