Question

如圖，已知拋物線y=x²-2x+n與x軸交于不同的兩點A，B，其頂點是C，D是拋物線的對稱軸與x軸的交點．
（1）求實數n的取值范圍．
（2）求頂點C的坐標；
（3）求線段AB的長；
（4）若直線y=

2

x+1分別交x軸于E，交y軸于F，問△BDC與△EOF是否有可能全等？如果有可能全等請給出證明；如果不可能全等請說明理由．

Answer 1

（1）令y=0，則有：x²-2x+n=0，
依題意有：△=4-4n＞0，
∴n＜1．
由于拋物線與y軸的交點在y軸正半軸上，
因此0＜n＜1．

（2）y=x²-2x+n=（x-1）²+n-1，
∴C（1，n-1）．

（3）令y=0，x²-2x+n=0，
解得x=1+

1-n

，x=1-

1-n

，
∴B（1+

1-n

，0），A（1-

1-n

，0），
∴AB=2

1-n

．

（4）易知：E（-

2

2

，0），F（0，1），
∴OE=

2

2

，OF=1．
由（2）（3）可得BD=

1-n

，CD=1-n，
①當OE=CD時，1-n=

2

2

，

1-n

=

2 2

≠1，因此BD≠OF，
∴兩三角形不可能全等．
②當OE=BD時，

1-n

=

2

2

，1-n=

1

2

≠1，因此CD≠OF，
∴兩三角形不全等．
綜上所述，△BDC與△EOF不可能全等．