Question

（2004•南京）我們知道：如果兩個三角形不僅是相似三角形，而且每對對應點所在的直線都經過同一個點，那么這兩個三角形叫做位似三角形，它們的相似比又稱為位似比，這個點叫做位似中心．利用三角形的位似可以將一個三角形縮小或放大．
（1）選擇：如圖1，點O是等邊三角形PQR的中心，P′、Q′、R′分別是OP、OQ、OR的中點，則△P′Q′R′與△PQR是位似三角形．此時，△P′Q′R′與△PQR的位似比、位似中心分別為______；
（A）2、點P，（B）、點P，（ C）2、點O，（D）、點O；
（2）如圖2，用下面的方法可以畫△AOB的內接等邊三角形．閱讀后證明相應問題．
畫法：
①在△AOB內畫等邊三角形CDE，使點C在OA上，點D在OB上；
②連接OE并延長，交AB于點E′，過點E′作E′C′∥EC，交OA于點C′，作E′D′∥ED，交OB于點D′；
③連接C′D′，則△C′D′E′是△AOB的內接三角形．
求證：△C′D′E′是等邊三角形．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據中位線定理可知，△P′Q′R′∽△PQR，且相似比是1：2，所以位似比是1：2，位似中心為點O；
（2）根據作法可知：E′C′∥EC，E′D′∥ED，可證得△OCE∽△OC′E′，△ODE∽△OD′E′，根據相似可證的對應邊的比相等，對應角相等，即可根據對應邊的比成比例且夾角相等的三角形相似，可證得△CDE∽△C′D′E′，即可得結果．
解答：（1）解：選擇D．
∵△P′Q′R′∽△PQR，且相似比是1：2，
∴位似比是1：2，位似中心為點O．
故選D；

（2）證明：∵E′C′∥EC，E′D′∥ED，
∴△OCE∽△OC′E′，△ODE∽△OD′E′
∴CE：C′E′=OE：OE′，DE：D′E′=OE：OE′，∠CEO=∠C′E′O，∠DEO=∠D′E′O
∴CE：C′E′=DE：D′E′，∠CED=∠C′E′D′
∴△CDE∽△C′D′E′
∵△CDE是等邊三角形，
∴△C′D′E′是等邊三角形．
點評：此題考查了學生的應用能力，考查了相似三角形的判定與性質，考查了位似圖形與相似圖形的關系：位似是相似的特殊形式．