Question

（2004•南京）我們知道：如果兩個(gè)三角形不僅是相似三角形，而且每對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過同一個(gè)點(diǎn)，那么這兩個(gè)三角形叫做位似三角形，它們的相似比又稱為位似比，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心．利用三角形的位似可以將一個(gè)三角形縮小或放大．
（1）選擇：如圖1，點(diǎn)O是等邊三角形PQR的中心，P′、Q′、R′分別是OP、OQ、OR的中點(diǎn)，則△P′Q′R′與△PQR是位似三角形．此時(shí)，△P′Q′R′與△PQR的位似比、位似中心分別為______；
（A）2、點(diǎn)P，（B）、點(diǎn)P，（ C）2、點(diǎn)O，（D）、點(diǎn)O；
（2）如圖2，用下面的方法可以畫△AOB的內(nèi)接等邊三角形．閱讀后證明相應(yīng)問題．
畫法：
①在△AOB內(nèi)畫等邊三角形CDE，使點(diǎn)C在OA上，點(diǎn)D在OB上；
②連接OE并延長(zhǎng)，交AB于點(diǎn)E′，過點(diǎn)E′作E′C′∥EC，交OA于點(diǎn)C′，作E′D′∥ED，交OB于點(diǎn)D′；
③連接C′D′，則△C′D′E′是△AOB的內(nèi)接三角形．
求證：△C′D′E′是等邊三角形．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)中位線定理可知，△P′Q′R′∽△PQR，且相似比是1：2，所以位似比是1：2，位似中心為點(diǎn)O；
（2）根據(jù)作法可知：E′C′∥EC，E′D′∥ED，可證得△OCE∽△OC′E′，△ODE∽△OD′E′，根據(jù)相似可證的對(duì)應(yīng)邊的比相等，對(duì)應(yīng)角相等，即可根據(jù)對(duì)應(yīng)邊的比成比例且夾角相等的三角形相似，可證得△CDE∽△C′D′E′，即可得結(jié)果．
解答：（1）解：選擇D．
∵△P′Q′R′∽△PQR，且相似比是1：2，
∴位似比是1：2，位似中心為點(diǎn)O．
故選D；

（2）證明：∵E′C′∥EC，E′D′∥ED，
∴△OCE∽△OC′E′，△ODE∽△OD′E′
∴CE：C′E′=OE：OE′，DE：D′E′=OE：OE′，∠CEO=∠C′E′O，∠DEO=∠D′E′O
∴CE：C′E′=DE：D′E′，∠CED=∠C′E′D′
∴△CDE∽△C′D′E′
∵△CDE是等邊三角形，
∴△C′D′E′是等邊三角形．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了學(xué)生的應(yīng)用能力，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，考查了位似圖形與相似圖形的關(guān)系：位似是相似的特殊形式．