Question

如圖，AB是⊙O的直徑，直線EF切⊙O于點C，AD⊥EF于點D．

（1）求證：AC平分∠BAD；
（2）若⊙O的半徑為2，∠ACD＝30°，求圖中陰影部分的面積．（結果保留）

Answer 1

（1）證明見試題解析；（2）.

試題分析：（1）連接OC，由切線的性質證得OC⊥EF，從而證明OC∥AD，再根據等邊對等角和平行線的性質可證得∠BAC=∠OCA和∠OCA=∠DAC，進而可知∠DAC=∠BAC.
(2)由于陰影部分的面積=S_梯形OCDA﹣S_扇形OCA，所以先求出梯形的面積和扇形OCA的面積即可.
試題解析：
（1）證明：連接OC
∵直線EF切⊙O 于點C
∴OC⊥EF
∵AD⊥EF
∴OC∥AD
∴∠OCA=∠DAC
∵ OA=OC
∴∠BAC=∠OCA
∴∠DAC=∠BAC
即AC平分∠BAD
（2）∵∠ACD=30°，∠OCD=90°
∴∠OCA=60°.
∵OC=OA
∴△OAC是等邊三角形
∵⊙O的半徑為2
∴AC=OA=OC=2，∠AOC=60°
∵在Rt△ACD中，AD=AC=1
由勾股定理得：DC=
∴陰影部分的面積=S_梯形OCDA﹣S_扇形OCA
=×（2+1）×﹣

∴陰影部分的面積為：
考點: ①切線的性質；②扇形的面積的計算；③等邊三角形的性質與判定