Question

【題目】如圖，二次函數y=﹣x2+bx的圖象與x軸的正半軸交于點A（4，0），過A點的直線與y軸的正半軸交于點B，與二次函數的圖象交于另一點C，過點C作CH⊥x軸，垂足為H．設二次函數圖象的頂點為D，其對稱軸與直線AB及x軸分別交于點E和點F．

（1）求這個二次函數的解析式；

（2）如果CE=3BC，求點B的坐標；

（3）如果△DHE是以DH為底邊的等腰三角形，求點E的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+4x；（2）B（0，2）；（3）E（2，﹣12+8）

【解析】整體分析：

（1）把A（4，0）代入拋物線y=﹣x2+bx即可求b；（2）由拋物線的性質求OF，AF的長，根據平行線分線段成比例定理，及CE=3BC，求OH，則可得CH，由△ACH∽△ABC求OB；（3）設點C的坐標為（x，﹣x2+4x），由△ACH∽△AEF，用x表示點E的坐標，根據ED=EH，用勾股定理列方程求解.

解：（1）∵拋物線y=﹣x2+bx經過點A（4，0），

∴﹣16+4b=0，∴b=4，

∴y=﹣x2+4x，

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+4x；

（2）∵y=﹣（x﹣2）2+4，頂點D的坐標是（2，4），∴OF=AF=2，

∵BO∥CH∥EF，∴=

∵CE=3BC，∴=，

∴OH=，∴CH=y﹣（﹣2）2+4=，

∵BO∥CH，∴△ACH∽△ABC，

∴=，∴=，∴OB=2，

∴B（0，2）；

（3）設點C的坐標為（x，﹣x2+4x），則H（x，0），

∵EF∥CH，∴△ACH∽△AEF，

∴=，∴=，∴EF=2x，∴E（2，2x），

∵EH=DE，∴=4﹣2x，

∴x1=﹣6+4，x2=﹣6﹣4（舍），

∴EF=2x=﹣12+8，

∴E（2，﹣12+8）．