Question

【題目】如圖，在ABCD中，AB⊥AC，對角線AC，BD相交于點O，將直線AC繞點O順時針旋轉一個角度α（0°＜α≤90°），分別交線段BC，AD于點E，F，連接BF．

（1）如圖1，在旋轉的過程中，求證：OE＝OF；

（2）如圖2，當旋轉至90°時，判斷四邊形ABEF的形狀，并證明你的結論；

（3）若AB＝1，BC＝，且BF＝DF，求旋轉角度α的大小．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）平行四邊形，理由見解析；（3）45°

【解析】

（1）由平行四邊形的性質得出∠OAF＝∠OCE，OA＝OC，進而判斷出△AOF≌△COE，即可得出結論；

（2）先判斷出∠BAC＝∠AOF，得出AB∥EF，即可得出結論；

（3）先求出AC＝2，進而得出A＝1＝AB，即可判斷出△ABO是等腰直角三角形，進一步判斷出△BFD是等腰三角形，利用等腰三角形的三線合一得出∠BOF＝90°，即可得出結論．

（1）證明：在ABCD中，AD∥BC，

∴∠OAF＝∠OCE，

∵OA＝OC，∠AOF＝∠COE，

∴△AOF≌△COE（ASA），

∴OE＝OF；

（2）當旋轉角為90°時，四邊形ABEF是平行四邊形，理由：

∵AB⊥AC，

∴∠BAC＝90°，

∵∠AOF＝90°，

∴∠BAC＝∠AOF，

∴AB∥EF，

∵AF∥BE，

∴四邊形ABEF是平行四邊形；

（3）在Rt△ABC中，AB＝1，BC＝，

∴AC＝＝2，

∴OA＝1＝AB，

∴△ABO是等腰直角三角形，

∴∠AOB＝45°，

∵BF＝DF，

∴△BFD是等腰三角形，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴OB＝OD，

∴OF⊥BD（等腰三角形底邊上的中線是底邊上的高），

∴∠BOF＝90°，

∴∠α＝∠AOF＝∠BOF﹣∠AOB＝45°．