Question

如圖，在直角坐標系中，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸交于點A（-1，0）、B（3，0）兩點，拋物線交y軸于點C（0，3），點D為拋物線的頂點．直線y=x-1交拋物線于點M、N兩點，過線段MN上一點P作y軸的平行線交拋物線于點Q．
（1）求此拋物線的解析式及頂點D的坐標；
（2）問點P在何處時，線段PQ最長，最長為多少；
（3）設E為線段OC上的三等分點，連接EP，EQ，若EP=EQ，求點P的坐標．

Answer 1

（1）∵拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸交于點A（-1，0）、B（3，0）兩點，交y軸于點C（0，3），由題意，得

0=a-b+c 0=9a+3b+c 3=c

，
解得：

a=-1 b=2 c=3

∴拋物線的解析式為：y=-x²+2x+3，
∴y=-（x-1）²+4，
∴D（1，4）；

（2）∵PQ⊥x軸，
∴P、Q的橫坐標相同，
∵P點在直線y=x-1上，設P（a，a-1），則Q（a，-a²+2a+3），
∴PQ=-a²+2a+3-a+1=-a²+a+4，
∴PQ=-（a-

1

2

）²+

17

4

，
∴當a=

1

2

時，線段PQ最長為

17

4

，則P點坐標為（

1

2

，-

1

2

）；

（3）∵E為線段OC上的三等分點，且OC=3，
∴E（0，1）或E（0，2），
設P（p，p-1）（在y=x-1上），則Q（p，-p²+2p+3）．
當E（0，1）時，
∵EP=EQ，
∴（p-0）²+（p-1-1）²=（p-0）²+（-p²+2p+3-1）²，
∴p²+（p-2）²=p²+（p²-2p-2）²，
（p-2）²=（p²-2p-2）²，
①當 p²-2p-2=p-2時，
∴p（p-3）=0，
∴p=0或3，
當p=0，P（0，-1），Q（0，3），
當p=3，P（3，2），Q（3，0），
過線段MN上一點P作y軸的平行線交拋物線于點Q．
∵直線y=x-1交拋物線于點M、N兩點，
∴x-1=-x²+2x+3，
解得：x₁=

1- 17

2

，x₂=

1+ 17

2

，
M的橫坐標為

1- 17

2

，N點的橫坐標為

1+ 17

2

，
∴P點橫坐標：大于等于

1- 17

2

小于等于

1+ 17

2

，
∴P（3，2），Q（3，0）不符合要求舍去；
②p²-2p-2=-p+2，
整理得：p²-p-4=0，
解得：P₁=

1- 17

2

，p₂=

1+ 17

2

，
∵直線y=x-1交拋物線于點M、N兩點，
∴x-1=-x²+2x+3，
解得：x₁=

1- 17

2

，x₂=

1+ 17

2

，
M的橫坐標為

1- 17

2

，N點的橫坐標為

1+ 17

2

，
∵過線段MN上一點P作y軸的平行線交拋物線于點Q．
∴P點橫坐標：大于等于

1- 17

2

小于等于

1+ 17

2

，
當E（0，2）時，
∵EP=EQ，
∴（p-0）²+（p-1-2）²=（p-0）²+（-p²+2p+3-2）²，
p²+（p-3）²=p²+（p²-2p-1）²，
∴（p-3）²=（p²-2p-1）²．
③當 p²-2p-1=p-3時，
∴（p-1）（p-2）=0
∴p=1或2．
當p=1時，P（1，0），Q（1，4）
當p=2時，P（2，1），Q（2，3）
④p²-2p-1=-p+3
p²-p-4=0，
解得：P₁=

1- 17

2

＜-1，p₂=

1+ 17

2

＞2，
P（

1- 17

2

，

- 17 -1

2

）或（

1+ 17

2

，

17 -1

2

）．
綜上所述，P點的坐標為：P（0，-1），P（1，0），P（2，1），P（

1- 17

2

，

- 17 -1

2

）或（

1+ 17

2

，

17 -1

2

）．
∵點P在線段MN上，
∴P點的坐標為：P（0，-1），P（1，0），P（2，1）．