Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的弦，半徑OA=2cm，∠AOB=120°

（1）求tan∠OAB的值；

（2）求圖中陰影部分的面積S；

（3）在⊙O上一點P從A點出發，沿逆時針方向運動一周，回到點A，在點P的運動過程中，滿足S△POA=S△AOB時，直接寫出P點所經過的弧長（不考慮點P與點B重合的情形）．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（π﹣）cm2；（3）P點所經過的弧長為 πcm或πcm或πcm．

【解析】試題分析：(1)、根據等腰三角形的性質求出∠OAB的角度，從而根據特殊角的三角函數值求出它的值；(2)、陰影部分的面積等于扇形AOB的面積減去△OAB的面積；(3)、本題需要分∠AOP=60°、∠AOP=120°和點P在弧AB上三種情況來分別進行計算，得出答案．

試題解析：(1)、解：∵OA=OB， ∴∠OAB=∠OBA，

∵∠OAB= （180°﹣120°）=30°， ∴tan∠OAB=tan30°=；

(2)、解：作OC⊥AB于C，如圖，則AC=BC，

在Rt△OAC中，OC=OA=1，AC=OC=， ∴AB=2AC=2，

∴S弓形AB=S扇形AOB﹣S△AOB=﹣2 1=（π﹣）cm2；

(3)、解：延長BO交⊙O于P， ∵OP=OB， ∴此時S△AOP=S△AOB，

∵∠AOP=∠OAB+∠OBA=60°， ∴此時P點所經過的弧長=π（cm）；

當點P在弧AB上，且∠AOP=60°時，時S△AOP=S△AOB ，

此時P點所經過的弧長=2π2﹣π=π（cm）；

當∠AOP=120時，S△AOP=S△AO， ∴此時P點所經過的弧長=π（cm）；

綜上所述，P點所經過的弧長為πcm或πcm或πcm．