Question

【題目】如圖，是的直徑，是上一點，連接、．為弧中點，過點作，垂足為，交于點，，交的延長線于點．

（1）求證：是的切線；

（2）若，且，求的半徑．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）連接OC．由點C為的中點，得到，求得∠COB=∠COF，根據平行線的性質得到∠OCG=∠OMB=90°，于是得到CG是⊙O的切線；

（2）連接BC．由（1）知，∠COB=∠COF=∠BOF=60°，推出△OBC為等邊三角形．得到∠OCD=30°，則EM=CE=2，根據勾股定理得到CM=，求得OM=CM=，于是得到結論．

（1）證明：連接OC．

．∵點C為的中點，

∴，

∴∠COB=∠COF，

∵OB=OF，

∴OC⊥BF，

設垂足為M，則∠OMB=90°，

∵CG∥FB，

∴∠OCG=∠OMB=90°，

∴CG是⊙O的切線；

（2）連接BC．

由（1）知，∠COB=∠COF=∠BOF=60°，

∵OB=OC，

∴△OBC為等邊三角形．

∴∠OCD=30°，則EM=CE=2，

∴CM=.

根據等腰三角形“三線合一”得OM=CM=，

∴OC=4，

即⊙O的半徑為4．