Question

如圖，正方形ABCD中，AB＝6，點E在邊CD上，且CD＝3DE．將△ADE沿AE對折至△AFE，延長EF交邊BC于點G，連結AG、CF．
（1）求證：①△ABG≌△AFG； ②BG＝GC；
（2）求△FGC的面積.

Answer 1

（1）證明見解析；（2）S_△FGC＝3.6．

試題分析：（1）①利用翻折變換對應邊關系得出AB=AF，∠B=∠AFG=90°，利用HL定理得出△ABG≌△AFG即可；②利用勾股定理得出GE²=CG²+CE²，進而求出BG即可；
（2）首先過C作CM⊥GF于M，由勾股定理以及由面積法得，CM=2.4，進而得出答案．
（1）①在正方形ABCD中，AD=AB=BC=CD，∠D=∠B=∠BCD=90°，
∵將△ADE沿AE對折至△AFE，
∴AD=AF，DE=EF，∠D=∠AFE=90°，
∴AB=AF，∠B=∠AFG=90°，
又∵AG=AG，
在Rt△ABG和Rt△AFG中，
∵，
∴△ABG≌△AFG（HL）；
②∵CD=3DE
∴DE=2，CE=4，
設BG=x，則CG=6﹣x，GE=x+2
∵GE²=CG²+CE²
∴（x+2）²=（6﹣x）²+4²，
解得  x=3
∴BG=3，
又∵AB＝6，
∴BG= GC；
（2）過C作CM⊥GF于M，

∵BG=GF=3，
∴CG=3，EC=6﹣2=4，
∴GE=5，
CM•GE=GC•EC，
∴CM×5=3×4，
∴CM=2.4，
∴S_△FGC＝GF·CM=3.6．