Question

如圖，點D的坐標為（0，1），直線y=-2

2

x-8與x軸、y軸分別交與C、P兩點，以D為圓心，DC為半徑做⊙D，⊙D交y軸于A、B兩點．
（1）求線段PC的長；
（2）試判斷直線PC與⊙D的位置關系，并加以證明；
（3）在直線PC上是否存在點E，使得S_△EOC=S_△CDO？若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據直線解析式求出點C、點P的坐標，繼而可求出PC的長度；
（2）分別求出DC、DP的長度，結合PC的長度，利用勾股定理的逆定理可判斷∠DCP=90°，也可判斷出直線PC與⊙D的位置關系；
（3）先求出△CDO的面積，設點E的坐標為（x，-2

2

x-8），根據S_△EOC=S_△CDO可得出方程，解出即可．

解答：解：（1）直線y=-2

2

x-8，
令x=0，可得y=-8，即點P的坐標為（0，-8），
令y=0，可得x=-2

2

，即點C的坐標為（-2

2

，0），
在Rt△OCP中，PC=

OC2+OP2

=6

2

；

（2）由題意得，PD=OD+OP=9，PC=6

2

，
在Rt△OCD中，CD=

OD2+OC2

=3，
∵CD²+PC²=DP²，
∴△DCP是直角三角形，∠DCP=90°，
∴DC⊥CP，
又∵DC是⊙D的半徑，
∴PC是⊙D的切線，
∴PC與⊙D的位置關系是相切．

（3）存在點E的坐標．
由題意得，S_△CDO=

2

，
設點E的坐標為（x，-2

2

x-8），
∵S_△EOC=S_△CDO，
∴

1

2

×2

2

×|-2

2

x-8|=

2

，即2

2

x+8=±1，
解得：x=-

9 2

4

或-

7 2

4

，
當x=-

9 2

4

時，點E的坐標為（-

9 2

4

，1）；
當x=-

7 2

4

時，點E的坐標為（-

7 2

4

，-1）．

點評：本題考查了圓的綜合題，涉及了切線的判定、三角形的面積及勾股定理的知識，綜合考察的知識點較多，解答本題的關鍵是熟練各個知識點，將所學知識融會貫通．