Question

【題目】如圖，點(diǎn)A在函數(shù)y= （x＞0）圖象上，過點(diǎn)A作x軸和y軸的平行線分別交函數(shù)y= 圖象于點(diǎn)B，C，直線BC與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為D，E．

（1）當(dāng)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為1時(shí)，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）試問：當(dāng)點(diǎn)A在函數(shù)y= （x＞0）圖象上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△ABC的面積是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出△ABC的面積，若變化，請(qǐng)說明理由．
（3）試說明：當(dāng)點(diǎn)A在函數(shù)y= （x＞0）圖象上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段BD與CE的長始終相等．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵點(diǎn)C在y= 的圖象上，且C點(diǎn)橫坐標(biāo)為1，

∴C（1，1），

∵AC∥y軸，AB∥x軸，

∴A點(diǎn)橫坐標(biāo)為1，

∵A點(diǎn)在函數(shù)y= （x＞0）圖象上，

∴A（1，4），

∴B點(diǎn)縱坐標(biāo)為4，

∵點(diǎn)B在y= 的圖象上，

∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（ ，4）；

（2）

解：設(shè)A（a， ），則C（a， ），B（ ， ），

∴AB=a﹣ = a，AC= ﹣ = ，

∴S△ABC= ABAC= × × = ，

即△ABC的面積不發(fā)生變化，其面積為 ；

（3）

解：如圖，設(shè)AB的延長線交y軸于點(diǎn)G，AC的延長線交x軸于點(diǎn)F，

∵AB∥x軸，

∴△ABC∽△EFC，

∴ = ，即 = ，

∴EF= a，

由（2）可知BG= a，

∴BG=EF，

∵AE∥y軸，

∴∠BDG=∠FCE，

在△DBG和△CFE中

∴△DBG≌△CEF（AAS），

∴BD=EF．

【解析】（1）由條件可先求得A點(diǎn)坐標(biāo)，從而可求得B點(diǎn)縱坐標(biāo)，再代入y= 可求得B點(diǎn)坐標(biāo)；（2）可設(shè)出A點(diǎn)坐標(biāo)，從而可表示出C、B的坐標(biāo)，則可表示出AB和AC的長，可求得△ABC的面積；（3）可證明△ABC∽△EFC，利用（2）中，AB和AC的長可表示出EF，可得到BG=EF，從而可證明△DBG≌△CFE，可得到DB=CF．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象和反比例函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握反比例函數(shù)的圖像屬于雙曲線．反比例函數(shù)的圖象既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形．有兩條對(duì)稱軸：直線y=x和 y=-x．對(duì)稱中心是：原點(diǎn)；性質(zhì):當(dāng)k＞0時(shí)雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每個(gè)象限內(nèi)y值隨x值的增大而減小； 當(dāng)k＜0時(shí)雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每個(gè)象限內(nèi)y值隨x值的增大而增大才能正確解答此題．