Question

【題目】為落實“綠水青山就是金山銀山”的發展理念，某縣政府部門決定，招標一工程隊負責完成一座水庫的土方施工任務．該工程隊有A，B兩種型號的挖掘機，已知1臺A型和2臺B型挖掘機同時施工1小時共挖土80立方米，2臺A型和3臺B型挖掘機同時施工1小時共挖土140立方米．每臺A型挖掘機一個小時的施工費用是350元，每臺B型挖掘機一個小時的施工費用是200元．

（1）分別求每臺A型，B型挖掘機一小時各挖土多少立方米？

（2）若A型和B型挖掘機共10臺同時施工4小時，至少完成1360立方米的挖土量，且總費用不超過14000元．問施工時有哪幾種調配方案？且指出哪種調配方案的施工費用最低，最低費用多少元？

Answer 1

【答案】(1) 每臺A型挖掘機一小時挖土40立方米，每臺B型挖掘機一小時挖土20立方米;(2) 當m＝7時，即選擇方案: 調配7臺A型、3臺B型挖掘機施工時，w取得最大值，最大值為12200元

【解析】

（1）設每臺A型挖掘機一小時挖土x立方米，每臺B型挖掘機一小時挖土y立方米，根據“1臺A型和2臺B型挖掘機同時施工1小時共挖土80立方米，2臺A型和3臺B型挖掘機同時施工1小時共挖土140立方米”，可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結論；

（2）設有m臺A型挖掘機參與施工，施工總費用為w元，則有（10﹣m）臺B型挖掘機參與施工，由4小時至少完成1360立方米的挖土量且總費用不超過14000元，即可得出關于m的一元一次不等式組，解之即可得出m的取值范圍，進而可得出各調配方案，再由施工總費用＝每臺挖掘機所需費用×調配臺數×工作時間，即可得出w關于m的函數關系式，再利用一次函數的性質即可解決最值問題．

解：（1）設每臺A型挖掘機一小時挖土x立方米，每臺B型挖掘機一小時挖土y立方米，

依題意，得：，

解得：．

答：每臺A型挖掘機一小時挖土40立方米，每臺B型挖掘機一小時挖土20立方米．

（2）設有m臺A型挖掘機參與施工，施工總費用為w元，則有（10﹣m）臺B型挖掘機參與施工，

∵4小時至少完成1360立方米的挖土量，且總費用不超過14000元，

∴，

解得：7≤m≤10．

∴共有四種調配方案，①調配7臺A型、3臺B型挖掘機施工；②調配8臺A型、2臺B型挖掘機施工；③調配9臺A型、1臺B型挖掘機施工；④調配10臺A型挖掘機施工．

依題意，得：w＝350×4m+200×4（10﹣m）＝600m+8000，

∵600＞0，

∴w的值隨m的增大而增大，

∴當m＝7時，即選擇方案①時，w取得最小值，最小值為12200元．