Question

【題目】在等邊中，點是邊上一點.作射線，點關于射線的對稱點為點.連接并延長，交射線于點.

（1）如圖，連接，

①與的數量關系是__________；

②設，用表示的大小；

（2）如圖，用等式表示線段，，之間的數量關系，并證明.

Answer 1

【答案】(1) ①AB=AE；②∠BCF=；(2) AF-EF=CF，理由見詳解.

【解析】

（1）①根據軸對稱性，即可得到答案；

②由軸對稱性，得：AE=AB，∠BAF=∠EAF=，由是等邊三角形，得AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°，再根據等腰三角形的性質和三角形內角和等于180°，即可求解；

（2）作∠FCG=60°交AD于點G，連接BF，易證FCG是等邊三角形，得GF=FC，再證ACGBCF(SAS)，從而得AG=BF，進而可得到結論.

（1）①∵點關于射線的對稱點為點，

∴AB和AE關于射線的對稱，

∴AB=AE.

故答案是：AB=AE；

②∵點關于射線的對稱點為點，

∴AE=AB，∠BAF=∠EAF=，

∵是等邊三角形，

∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°，

∴∠EAC=60°-2，AE=AC，

∴∠ACE=，

∴∠BCF=∠ACE-∠ACB=-60°=.

（2）AF-EF=CF，理由如下：

作∠FCG=60°交AD于點G，連接BF，

∵∠BAF=∠BCF=，∠ADB=∠CDF，

∴∠ABC=∠AFC=60°，

∴FCG是等邊三角形，

∴GF=FC，

∵是等邊三角形，

∴BC=AC，∠ACB=60°，

∴∠ACG=∠BCF=.

在ACG和BCF中，

∵，

∴ACGBCF(SAS)，

∴AG=BF，

∵點關于射線的對稱點為點，

∴AG=BF=EF，

∵AF-AG=GF，

∴AF-EF=CF.