Question

（本題12分） 如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，點E是線段AD上的一個動點（E與A、D不重合），G、F、H分別是BE、BC、CE的中點．

（1）試探索四邊形EGFH的形狀，并說明理由；
（2）當點E運動到什么位置時，四邊形EGFH是菱形？并說明理由；
（3）若（2）中的菱形EGFH是正方形，請探索線段EF與線段BC的關系，并說明你的理由．

Answer 1

（1）EFGH為平行四邊形（2）當點E運動到AD的中點時，四邊形EGFH是菱形（3）EF⊥BC，EF=BC

試題分析：解：（1） EFGH為平行四邊形
理由：∵G、F、H分別是BE、BC、CE的中點
∴GF∥EC ，FH∥BE∴ EFGH為平行四邊形 ……4分
（2）當點E運動到AD的中點時，四邊形EGFH是菱形
理由：∵四邊形ABCD是等腰梯形
∴AB="CD" ∠A=∠D
∵AE=DE
∴△ABE≌△DCE
∴BE=CE
∵G、H分別是BE、CE的中點
∴GF=BE,FH=CE
∴GF=FH
∵ EFGH為平行四邊形
∴四邊形EFGH是菱形……4分
（3）EF⊥BC,EF=BC
理由：∵ 四邊形EGFH是正方形
∴EG=EH,∠BEC=90°
∵BE=CE,F為BC的中點，
∴EF⊥BC，EF=BC……4分（答對一半得2分）
點評：此類試題屬于難度一般的試題，考生在解答此類試題時一定要對各多邊形的基本判定熟練把握