Question

【題目】如圖,在△ABC中,AD是BC邊上的中線,E是AD的中點,過點A作BC的平行線交BE的延長線于點F,連接CF.

(1)求證:AF=DC;

(2)若AB⊥AC,試判斷四邊形ADCF的形狀,并證明你的結論;

(3)在(2)的條件下,要使四邊形ADCF為正方形,在△ABC中應添加什么條件,請直接把補充條件寫在橫線上 (不需說明理由).

Answer 1

【答案】（1）證明見解析 （2）答案見解析 （3）AB=AC

【解析】

（1）連接DF，證三角形AFE和三角形DBE全等，推出AF=BD，即可得出答案；
（2）根據平行四邊形的判定得出平行四邊形ADCF，求出AD=CD，根據菱形的判定得出即可；
（3）根據等腰三角形性質求出AD⊥BC，推出∠ADC=90°，根據正方形的判定推出即可．

（1）證明：連接DF，

∵E為AD的中點，
∴AE=DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，
在△AFE和△DBE中，

∴△AFE≌△DBE（AAS），
∴EF=BE，
∵AE=DE，
∴四邊形AFDB是平行四邊形，
∴BD=AF，
∵AD為中線，
∴DC=BD，
∴AF=DC；
（2）四邊形ADCF的形狀是菱形，
證明：∵AF=DC，AF∥BC，
∴四邊形ADCF是平行四邊形，
∵AC⊥AB，
∴∠CAB=90°，
∵AD為中線，
∴AD=DC，
∴平行四邊形ADCF是菱形；
（3）解：AC=AB，
理由是：∵∠CAB=90°，AC=AB，AD為中線，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵四邊形ADCF是菱形，
∴四邊形ADCF是正方形，
故答案為：AC=AB．