Question

【題目】如圖，已知拋物線 經過 、 兩點.

（1）求拋物線的解析式；

（2）將直線OB向下平移m個單位長度后，得到的直線與拋物線只有一個公共點D，求m的值及點D的坐標；

（3）如圖，已知點N在拋物線上，且 .

①求出點N的坐標；

②在（2）的條件下，直接寫出所有滿足 的點P的坐標.

Answer 1

【答案】（1）；（2）D點坐標為(2,-2) ；（3）①點N的坐標為，②點P的坐標為 或 .

【解析】

（1）利用待定系數法求二次函數解析式進而得出答案即可；

（2）根據已知條件可求出OB的解析式為y=x，則向下平移m個單位長度后的解析式為：y=x-m．由于拋物線與直線只有一個公共點，意味著聯立解析式后得到的一元二次方程，其根的判別式等于0，由此可求出m的值和D點坐標；

（3）①設點N（n，n+3），又點N在拋物線y=x2-3x上，代入拋物線的解析式即可求出n的值，進而得到N的坐標；

②首先求出直線A′B的解析式，進而由△P1OD∽△NOB，得出△P1OD∽△N1OB1，進而求出點P1的坐標，再利用翻折變換的性質得出另一點的坐標．

（1） 拋物線 經過點 ， .

解得：

拋物線的解析式是

（2）設直線OB的解析式為 ，由點 ，

得： ，解得 .

直線OB的解析式為

直線OB向下平移m個單位長度后的解析式為： .

點D在拋物線 上.

可設 .

又點D在直線上，

，即 .

拋物線與直線只有一個公共點，

，解得：

此時 ， ，

點坐標為(2,-2)

（3）①∵直線OB的解析式為y=x，且A（3，0），

∴點A關于直線OB的對稱點A′的坐標是（0，3），

根據軸對稱性質和三線合一性質得出∠A′BO=∠ABO，

設直線A′B的解析式為y=k2x+3，過點（4，4），

∴4k2+3=4，解得：k2=，

∴直線A′B的解析式是y=x+3，

∵∠NBO=∠ABO，∠A′BO=∠ABO，

∴BA′和BN重合，

即點N在直線A′B上，

∴設點N（n，n+3），又點N在拋物線y=x2-3x上，

∴=n2-3n，

解得：n1=-，n2=4（不合題意，舍去）

∴N點的坐標為（-，）．

②如圖，將△NOB沿x軸翻折，得到△N1OB1，

由①可知：N1 （-，-），B1（4，-4）．

∴O、D、B1都在直線y=-x上．

過D點做DP1∥N1B1，

∵△P1OD∽△NOB，

∴△P1OD∽△N1OB1，

∴P1為O N1的中點．

∴，

∴點P1的坐標為（-，-）．

將△P1OD沿直線y=-x翻折，可得另一個滿足條件的點到x軸距離等于P1到y軸距離，點到y軸距離等于P1到x軸距離，

∴此點坐標為：（，）．

綜上所述，點P的坐標為（-，-）和（，）．