Question

【題目】如圖，直線(xiàn)l：y=﹣3x+3與x軸、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，拋物線(xiàn)y=ax2-2ax+a+4（a＜0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)B．

（1）求該拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式；
（2）已知點(diǎn)M是拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，并且點(diǎn)M在第一象限內(nèi)，連接AM、BM，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，△ABM的面積為S，求S與m的函數(shù)表達(dá)式，并求出S的最大值；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)S取得最大值時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M相應(yīng)的位置記為點(diǎn)M′．
①寫(xiě)出點(diǎn)M′的坐標(biāo)；
②將直線(xiàn)l繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)得到直線(xiàn)l′，當(dāng)直線(xiàn)l′與直線(xiàn)AM′重合時(shí)停止旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，直線(xiàn)l′與線(xiàn)段BM′交于點(diǎn)C，設(shè)⊙B, ⊙M′都與直線(xiàn)l′相切，半徑分別為R1、R2 ， 當(dāng)R1+R2最大時(shí)，求直線(xiàn)l′旋轉(zhuǎn)的角度（即∠BAC的度數(shù)）．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵y=﹣3x+3與x軸、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，
∴A（1，0），B（0，3），
又∵拋物線(xiàn)y=ax2-2ax+a+4（a＜0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，
∴a+4=3，
∴a=-1,
∴拋物線(xiàn)解析式為：y=x2+2x+3 .
（2）解：由（1）知拋物線(xiàn)解析式為y=x2+2x+3 ，
令y=0，
∴x2+2x+3=0 ，
∴x1=3，x2=-1，
設(shè)M（m，m2+2m+3 ），
又∵點(diǎn)M在第一象限，
∴0m3，
又∵A（1，0），B（0，3），
∴S=SΔABM=S四邊形OAMBSRtΔAOB，
=SΔOBM+SΔOAMSRtΔAOB，
=×OB×xM+×OA×yM×OA×OB，
=×3×m+×1×（m2+2m+3）-×1×3，
=m2+m ,
=-（m-）2+，
∴當(dāng)m=時(shí)，Smax＝.
（3）解：①由（2）知當(dāng)m=時(shí)，Smax＝.
∴y=-+5+3=，
∴M′（，）.
②如圖：作BD⊥l′于點(diǎn)D，M′E⊥l′于點(diǎn)E，
∵⊙B, ⊙M′都與直線(xiàn)l′相切，
∴BD=R1，M′E=R2，
∴S=SΔABM=SΔABC+SΔACM′，
即S=×AC×BD+×AC×M′E=×AC×（R1+R2），
當(dāng)R1+R2最大時(shí)，AC就取得最小值，
∴AC⊥BM′時(shí)，AC取得最小值，
又∵M(jìn)′（，），B（0，3），
∴BM′=,
∴S=××AC=.
∴AC=，
∵A（1，0），B（0，3），
∴AB=，
在Rt△ACB中，
∴cos∠BAD===，
∴∠BAD=45°，
即直線(xiàn)l′旋轉(zhuǎn)的角度45°.


【解析】（1）由直線(xiàn)解析式與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)即可得A（1，0），B（0，3），再將B點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)求出a值，從而得出拋物線(xiàn)解析式.
（2）由（1）知拋物線(xiàn)解析式為y=x2+2x+3 ，A（1，0），B（0，3），設(shè)M（m，m2+2m+3 ），令y=0，結(jié)合已知條件即可得m的取值范圍為：
0m3，再由S=S四邊形OAMBSRtΔAOB=SΔOBM+SΔOAMSRtΔAOB，代入即可得出S=m2+m ,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出最大值.
（3）①由（2）知當(dāng)m=時(shí)，Smax＝.將m=代入拋物線(xiàn)解析式即可求出M的縱坐標(biāo)，即M′（，）.
②作BD⊥l′于點(diǎn)D，M′E⊥l′于點(diǎn)E根據(jù)切線(xiàn)性質(zhì)得BD=R1，M′E=R2，由三角形面積公式S=SΔABM=SΔABC+SΔACM′=×AC×（R1+R2），當(dāng)R1+R2最大時(shí)，AC就取得最小值，即AC⊥BM′時(shí)，AC取得最小值，根據(jù)兩點(diǎn)間距離得BM′=,AB=，代入即可得AC=，在Rt△ACB中，由銳角三角函數(shù)定義得cos∠BAD===，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可得∠BAD=45°，即直線(xiàn)l′旋轉(zhuǎn)的角度45°.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的二次函數(shù)的最值和三角形的面積，需要了解如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值（或最小值），即當(dāng)x=-b/2a時(shí)，y最值=(4ac-b2)/4a；三角形的面積=1/2×底×高才能得出正確答案．