Question

20．如圖，正方形ABCD中，E為BD上一點，F為BC上一點，EF=EC．
（1）求證：AF=$\sqrt{2}$EF；
（2）求證：AB+BF=$\sqrt{2}$BE．

Answer 1

分析 （1）如圖連接AE．由△BEA≌△BEC，推出AE=EC=EF，∠BAE=∠BCE，由EF=EC，推出∠EFC=∠ECF，由∠BFE+∠EFC=180°，推出∠BAE+∠BFE=180°，推出∠ABC+∠AEF=360°-（∠BAE+∠BFE）=180°，由∠ABC=90°，推出∠AEF=90°，推出△AEF是等腰直角三角形，即可解決問題．
（2）延長BC到M，使得CM=BF，由△EFB≌△ECM，推出EB=EM，∠EBF=∠M=45°，推出△EBM是等腰直角三角形，推出BM=$\sqrt{2}$BE，由BF=CM，推出BC=FM=AB，推出AB+BF=FM+BF=BM=$\sqrt{2}$BE．

解答 證明：（1）如圖連接AE．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，∠ABD=∠CBD=45°，AB=CB，
在△BEA和△BEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=BE}\\{∠EBA=∠EBC}\\{BC=BA}\end{array}\right.$，
∴△BEA≌△BEC，
∴AE=EC=EF，∠BAE=∠BCE，
∵EF=EC，
∴∠EFC=∠ECF，
∵∠BFE+∠EFC=180°，
∴∠BAE+∠BFE=180°，
∴∠ABC+∠AEF=360°-（∠BAE+∠BFE）=180°，
∵∠ABC=90°，
∴∠AEF=90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴AF=$\sqrt{2}$AE．

（2）延長BC到M，使得CM=BF，
∵∠EFC=∠ECF，
∴∠EFB=∠ECM，
在△EFB和△ECM中，
$\left\{\begin{array}{l}{EF=EC}\\{∠EFB=∠ECM}\\{BF=CM}\end{array}\right.$，
∴△EFB≌△ECM，
∴EB=EM，∠EBF=∠M=45°，
∴△EBM是等腰直角三角形，
∴BM=$\sqrt{2}$BE，
∵BF=CM，
∴BC=FM=AB，
∴AB+BF=FM+BF=BM=$\sqrt{2}$BE，

點評 本題考查正方形的性質、全等三角形的判定和性質、等腰三角形的判定和性質、等腰直角三角形的性質和判定等知識，解題的關鍵是學會添加輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．